压缩映射、不动点的一些学习记录

定义（压缩映射）：设f在区间[a,b]上定义，f([a,b]) \subset [a,b]，并存在一个常数k，满足0<k<1，使得对一切x,y \in [a,b]成立不等式|f(x) -f(y)| \leq k|x-y|，则称f是[a,b]上的一个压缩映射，称常数k为压缩常数。

命题（压缩映射原理）：设f是[a,b]上的一个压缩映射，则
1.f在[a,b]中存在唯一的不动点\xi = f(\xi);

  1. 由任何初值a_0 \in [a,b]和递推公式a_{n+1} = f(a_n), n \in N_+，生成的数列{a_n}一定收敛于\xi.
    证：
    由于 f([a,b]) \subset [a,b]，因此，{a_n}必在[a,b]中，根据Cauchy收敛准则可以估计
    |a_n - a_{n+p}| \leq k|a_{n-1}-a_{a+p-1}| \leq k^2|a_{n-2}-a_{n+p-2}| \leq ... \leq k^n|a_0-a_p| \leq k^n(b-a)
    可见对于\varepsilon > 0.只要取N= \frac {ln \frac {\varepsilon} {b-a}} {lnk}, 当n>N和p \in N_+
    具体推到如下:
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