压缩映射、不动点的一些学习记录

定义（压缩映射）：设 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上定义， $f([a,b]) \subset [a,b]$ ，并存在一个常数 $k$ ，满足 $0<k<1$ ，使得对一切 $x,y \in [a,b]$ 成立不等式 $|f(x) -f(y)| \leq k|x-y|$ ，则称 $f$ 是 $[a,b]$ 上的一个压缩映射，称常数 $k$ 为压缩常数。

命题（压缩映射原理）：设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的一个压缩映射，则
1. $f$ 在 $[a,b]$ 中存在唯一的不动点 $\xi = f(\xi)$ ;

由任何初值 $a_0 \in [a,b]$ 和递推公式 $a_{n+1} = f(a_n), n \in N_+$ ，生成的数列 ${a_n}$ 一定收敛于 $\xi$ .
证：
由于 $f([a,b]) \subset [a,b]$ ，因此， ${a_n}$ 必在 $[a,b]$ 中，根据Cauchy收敛准则可以估计
$|a_n - a_{n+p}| \leq k|a_{n-1}-a_{a+p-1}| \leq k^2|a_{n-2}-a_{n+p-2}| \leq ... \leq k^n|a_0-a_p| \leq k^n(b-a)$
可见对于 $\varepsilon > 0$ .只要取 $N= \frac {ln \frac {\varepsilon} {b-a}} {lnk}$ , 当 $n>N$ 和 $p \in N_+$
具体推到如下:

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