凸集性质以及凸包

凸集：假设集合，如果对于和，有

成立，则称集合为凸集(convex set),或称是凸的。约定空集也是凸集。

凸集示意图

例如，三维空间中的球体就是一个凸集，但是球面就不是。

凸集的运算性质：

• 若和都是凸集，则和都是凸集，后者表示两个集合的直和。
• 对于任意凸集和标量，是凸集。
• 凸集的闭包和都是凸集。
• 凸集在仿射变换下的像和原像都是凸集。

凸包：假设,称中的所有凸集的交集为的凸包(convex hull)，记作。

凸包

换句话说，凸包是包含的最小凸集。

凸组合：设，称为中个向量的凸组合(convex combination)。

有限个点的凸组合就是他们的凸包：

凸组合

凸包表示定理：
设，若，则,其中且。也就是说可以表示成中有限个向量的凸组合。

仿射集

仿射组合设，则称为向量的仿射组合(affine combination)。

例：或者中两个点的仿射组合为过该两点的直线。
中不共面的三个点，对应的仿射组合为它们所在的平面。

仿射集：设集合,若对于和,有
成立，则称集合为仿射集(affine set)。

仿射集举例：

• 中的点，线，超平面。
• 齐次线性方程组的零空间。

思考：我们可以发现，一个线性空间一定是一个仿射集；而一个仿射集未必是一个线性空间，因为它未必过原点。但是我们可以把一个仿射集平移到原点，它就成为了一个线性空间。
换句话说，仿射集一定平行于某个子空间，于是就引出了我们下面的仿射集表示定理。

仿射集表示定理
假设为仿射集，则有

其中，为中的子空间，也就是我们上面提到的，平行于子空间,而可以看到我们的选取也是不唯一的，这意味着，对于同一个仿射集，我们通过平移的方式，使它经过原点，这样的平移方式也是不唯一的。

仿射包：假设集合，称中包含的所有仿射集的交集为的仿射包(affine hull),记作。换句话说，仿射包是包含的最小仿射集。约定空集的仿射包为空集。

仿射包表示定理：设集合，则中任意向量均可以表示成中有限个向量的仿射组合。

锥集合及其性质

锥(cone)：设集合，若对于和,有
成立，则称集合为锥(cone)。当锥集合为凸集时，称其为凸锥。当凸锥集合为闭集时，称其为闭凸锥。

闭凸锥

注意事项：锥集合不一定包含原点，但是它的闭包一定包含原点。

锥集合的运算性质

• 设为锥集合，则也是锥；
• 设为锥，则闭包也是锥；
• 锥集合的线性变换也是锥。

生成锥：设集合，称中元素的非负组合的全体为的生成锥(cone generated by C)，记为

注意事项

• 生成锥是凸锥，且一定包含原点；
• 生成锥不一定是闭集；
• 有限时，一定是闭集。

相对内部

• 相对内部点：若且存在一个以为球心的开球满足,那么称是的相对内部点(relative interior point)。
• 相对内部： 中相对内部点的全体称为集合的相对内部(relative interior)。记为。
• \ 称为的相对边界(relative boundary)。

为了更好地区分相对内部和内部这两个概念的区别。我们来看下面的例子：
有中的集合

它的仿射集,它的闭包是非空凸集，根据内点的定义，可以发现这个集合没有内点，也就是说它的内部是空集。
但是我们通过相对内部的定义，计算可以得到：

并不是空集。如下图所示：

相对内部

相对内部性质
设集合是非空凸集：

• 线段原理：若,那么在连接和的线段上，除了以外的点都在上;
• 相对内部非空：ri(C)是非空的，并且;
• 延伸引理：当且仅当对于任意的，存在一个使得。