凸集性质以及凸包
凸集：假设集合
，如果对于
和![\forall \alpha \in [0,1]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cforall%20%5Calpha%20%5Cin%20%5B0%2C1%5D)
，有
y%20%5Cin%20C)
成立，则称集合
为凸集(convex set),或称是凸的。约定空集也是凸集。
如上图所示，我们可以看到，根据凸集的定义，上图中左边的两个集合是凸集，右边的两个集合不是凸集。
我们可以这样说，对于一个凸集中的两个点，连接他们的线段也一定完全被包含在这个凸集中。如果不是这样的话，他就不是一个凸集。
例如，三维空间中的球体就是一个凸集，但是球面就不是。
凸集的运算性质：
- 若
和
都是凸集，则
和
都是凸集，后者表示两个集合的直和。
- 对于任意凸集和标量
，
是凸集。
- 凸集的闭包
)
和)
都是凸集。
- 凸集在仿射变换下的像和原像都是凸集。
凸包：假设,称
中的所有凸集的交集为的凸包(convex hull)，记作)
。
换句话说，凸包是包含的最小凸集。
凸组合：设
，称
为中
个向量的凸组合(convex combination)。
有限个点的凸组合就是他们的凸包：
凸包表示定理：
设
，若)
，则
,其中
且
。也就是说
可以表示成中有限个向量的凸组合。
仿射集
仿射组合设
，则称
为向量的仿射组合(affine combination)。
例：
或者
中两个点的仿射组合为过该两点的直线。
中不共面的三个点，对应的仿射组合为它们所在的平面。
仿射集：设集合
,若对于
和
,有
y%20%5Cin%20C)
成立，则称集合为仿射集(affine set)。
仿射集举例：
-
中的点，线，超平面。
- 齐次线性方程组的零空间。
思考：我们可以发现，一个线性空间一定是一个仿射集；而一个仿射集未必是一个线性空间，因为它未必过原点。但是我们可以把一个仿射集平移到原点，它就成为了一个线性空间。
换句话说，仿射集一定平行于某个子空间，于是就引出了我们下面的仿射集表示定理。
仿射集表示定理
假设
为仿射集，则有
其中
，
为中的子空间，也就是我们上面提到的，平行于子空间,而可以看到我们
的选取也是不唯一的，这意味着，对于同一个仿射集，我们通过平移的方式，使它经过原点，这样的平移方式也是不唯一的。
仿射包：假设集合，称中包含的所有仿射集的交集为的仿射包(affine hull),记作)
。换句话说，仿射包是包含的最小仿射集。约定空集的仿射包为空集。
仿射包表示定理：设集合，则中任意向量均可以表示成中有限个向量的仿射组合。
锥集合及其性质
锥(cone)：设集合，若对于
和
,有
成立，则称集合为锥(cone)。当锥集合为凸集时，称其为凸锥。当凸锥集合为闭集时，称其为闭凸锥。
注意事项：锥集合不一定包含原点，但是它的闭包一定包含原点。
锥集合的运算性质
- 设
为锥集合，则
也是锥；
- 设为锥，则闭包也是锥；
- 锥集合的线性变换也是锥。
生成锥：设集合，称中元素的非负组合的全体为的生成锥(cone generated by C)，记为%E3%80%82)
注意事项
- 生成锥是凸锥，且一定包含原点；
- 生成锥不一定是闭集；
-
有限时，
)
一定是闭集。
相对内部
-
相对内部点：若
且存在一个以为球心的开球)
满足%20%5Csubset%20C)
,那么称是的相对内部点(relative interior point)。
-
相对内部： 中相对内部点的全体称为集合的相对内部(relative interior)。记为
)
。
-
\ 称为的相对边界(relative boundary)。
为了更好地区分相对内部和内部这两个概念的区别。我们来看下面的例子：
有中的集合
它的仿射集%20%3D%20%5C%7Bx%20%5Cin%20R%5E3%7C%20x_3%3D1%5C%7D)
,它的闭包是非空凸集，根据内点的定义，可以发现这个集合没有内点，也就是说它的内部是空集。
但是我们通过相对内部的定义，计算可以得到：
%20%3D%20%5C%7Bx%5Cin%20R%5E3%20%7C%20x_1%5E2%2Bx_2%5E2%20%5Cleq%201%2Cx_3%20%3D1%5C%7D)
并不是空集。如下图所示：
相对内部性质
设集合是非空凸集：
- 线段原理：若
%2C%5Coverline%7Bx%7D%20%5Cin%20cl(C))
,那么在连接和的线段上，除了以外的点都在上;
- 相对内部非空：ri(C)是非空的，并且
)%3Daff(C))
;
- 延伸引理：
)
当且仅当对于任意的，存在一个
使得%20%5Cin%20C)
。
