分析力学基本原理介绍3：非保守力系统和耗散函数

$\bullet$ 在2.中我们在系统只存在理想双侧完整定常约束的前提下，利用达朗伯原理推导出了拉格朗日方程。对于广义力，我们仅仅假设了，如果主动力 $\mathbf{F}_i$ 能够通过对一个只依赖广义坐标的势函数 $U(q)$ 求导得到，即 $\mathbf{F}_i = -\boldsymbol{\nabla}_iU$ ，那么广义力 $Q_j = -\frac{\partial U}{\partial q_j}$ 。但事实上，即使不存在这样的势函数 $U$ ，只要一个函数 $V(q,\dot{q})$ 能够满足关系： $Q_j = -\frac{\partial V}{\partial q_j} + \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial V}{\partial \dot{q_j}}\right)$ ，代入之前从达朗伯原理中得到的结论我们就可以发现

$\frac{\partial T}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_j}}\right) = -\frac{\partial V}{\partial q_j} + \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial V}{\partial \dot{q_j}}\right) \implies \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_j}} \right) = 0$

拉格朗日方程是依然成立的。

只是现在的拉式函数具有形式

$\mathscr{L} = T - V(q,\dot{q})$

我们称这类依赖广义速度的函数为广义势(generalized potential)，以此将其与一般的势函数区分开来。

$\bullet$ 广义势的应用并不少见，比如在电磁学中，一个电荷量为 $q$ ，质量为 $m$ ，以速度 $\mathbf{v}$ 在电场和磁场中运动，洛伦兹力为： $\mathbf{F} = q[\mathbf{E} + (\mathbf{v} \times \mathbf{B})]$ ，电场 $\mathbf{E}$ 与磁场 $\mathbf{B}$ 都是关于坐标（就拿笛卡尔为例）与时间的连续可微函数，存在标量场 $\phi(x,y,z,t)$ 和矢量势 $\mathbf{A}(x,y,z,t)$ 且：

$\begin{align*}\mathbf{E}(x,y,z,t) &= -\boldsymbol{\nabla}\phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\\\mathbf{B}(x,y,z,t) &= \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} \end{align*}$

所以对应的势能为：

$U(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},t) = q\phi - q\mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{v}$

可见其具有对速度的依赖性。

对应的拉格朗日函数为： $\mathscr{L} = \frac{1}{2}mv^2 - q\phi + q\mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{v} = \frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2+v_z^2) - q\phi + q\mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{v}$

代入拉格朗日方程我们能够得到三个方程， $x,y,z$ 方向各对应一个。如果只考虑 $x$ 方向上的方程，则有：

$m\ddot{x} = q\left( v_x \frac{\partial A_x}{\partial x} + v_y\frac{\partial A_y}{\partial x} + v_z\frac{\partial A_z}{\partial x}\right) - q\left(\frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{dA_x}{dt}\right)$

矢量势 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix}A_x\\A_y\\A_z\end{pmatrix}$ ，其各分量皆为坐标与时间的函数，所以对时间全导为：

$\begin{align*}\frac{dA_x}{dt} &= \boldsymbol{\nabla}A_x \boldsymbol{\cdot}\mathbf{v} + \frac{\partial A_x}{\partial t}\\ &= \frac{\partial A_x}{\partial t} + v_x\frac{\partial A_x}{\partial x} + v_y\frac{\partial A_x}{\partial y} + v_z\frac{\partial A_z}{\partial z}\end{align*}$

代入运动方程我们可以发现其等价于： $m\ddot{x} = q[E_x + (\mathbf{v} \times \mathbf{B})_x]$

三个方向都考虑的话，我们就又回到了洛伦兹力的矢量表达式： $\mathbf{F} =m\mathbf{a} = q[\mathbf{E} + (\mathbf{v} \times \mathbf{B})]$

可见，拉格朗日方程在存在速度依赖性的势函数的情况下依然成立。

综上，我们得到的结论是：系统中即便是在存在一些无法通过势函数得到的作用力，拉格朗日方程也总是可以被写成下面的形式:

$\boxed{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_j}}\right) - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_j} = Q_j}$

其中 $\mathscr{L}$ 只包含了保守力所对应的势能， $Q_j$ 则是那些无法通过势函数得到的非保守力。

$\bullet$ 比较典型的例子就是考虑摩擦力的系统了，比如和速度成正比的摩擦力： $\mathbf{F}^{(f)} = -\text{K}\mathbf{v} = -(k_xv_x,k_yv_y,k_zv_z)$ ，其中 $\rm{K} = \begin{bmatrix}k_x & 0 &0\\ 0 & k_y &0\\ 0 & 0 & k_z\end{bmatrix}$

这类摩擦力可由一个函数 $\mathcal{F}$ 得到，其具有形式：

$\boxed{\mathcal{F} = \frac{1}{2}\sum_i(k_xv_{ix}^2 + k_yv_{iy}^2 + k_zv_{iy}^2)}$

它被叫做瑞丽耗散函数(Rayleigh's dissipation function)，指标 $i$ 表示了对系统内所有微粒的加和。

不难看出， $\mathbf{F}^{(f)} = -\boldsymbol{\nabla}_v\mathcal{F} = -\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial\mathbf{v}}$ 。

考虑系统经过 $dt$ 时间克服摩擦力的做功： $dW = -\mathbf{F}^{(f)} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{r} = -\mathbf{F}^{(f)} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{v}dt = (k_xv_x^2 + k_yv_y^2 + k_zv_z^2) \;dt = 2\mathcal{F}\;dt$

可以得到 $\dot{W} = 2\mathcal{F}$ ，即系统在摩擦力作用下的能量耗散率为 $\mathcal{F}$ 的二倍，这是它的物理意义。

$\bullet$ 另外一个例子是斯笃克斯定律： $\mathbf{F}^{(f)} = 6\pi\mu R\mathbf{v}$ ，该表达式则描述的是一个半径为 $R$ ，速度为 $\mathbf{v}$ 的球体在粘度(viscosity)为 $\mu$ 的流体中所受粘滞力的大小，这种情况下的球体通常具有较小的雷诺数(Reynolds number)。

广义力可以用含有 $\mathcal{F}$ 的式子表示：

$Q_j = \sum_j \mathbf{F}^{(f)}_{i} \boldsymbol{\cdot} \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} = -\sum \boldsymbol{\nabla}_v\mathcal{F} \boldsymbol{\cdot}\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} = -\sum \boldsymbol{\nabla}_v\mathcal{F} \boldsymbol{\cdot} \frac{\partial \mathbf{\dot{r}}_i}{\partial \dot{q_j}} = -\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \dot{q_j}}$

所以对应的拉格朗日方程为：

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_j}}\right) - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_j} + \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \dot{q_j}} = 0$

当给定 $\mathscr{L}$ 和 $\mathcal{F}$ 时，便可使用上述表达式得到运动方程。

最后编辑于：2020.03.31 12:17:37

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