2017年理数全国卷C题20
20.（12分）
已知抛物线 过点
的直线
交
于
两点，圆
是以线段
为直径的圆.
（1）证明∶坐标原点 在圆
上;
（2）设圆 过点
，求直线
与圆
的方程.
【分析】
圆与直角三角形、等腰三角形有着很密切的联系。
本题中，将待证结论作为条件：坐标原点 在圆
上，结合另一已知条件：圆
是以线段
为直径的圆，可以得出结论：
反之，如果能证明两向量的内积为 ，也可以推导出两直线垂直，从而得出结论：坐标原点
在圆
上.
【解答第1问】
抛物线 以
轴为对称轴，假如直线
倾角为0，与抛物线只有一个交点，不需要考虑。
所以，直线 的方程可表示为：
将此直线方程代入抛物线方程可得：
两点是直线与抛物线的公共点，根据以上方程可以求出这两点坐标的和与积：
又因为圆 是以线段
为直径的圆，所以，坐标原点
在圆
上.
【微操说明】
过点 且不垂直于
轴的直线方程可表示为：
过点 且不垂直于
轴的直线方程可表示为：
以上两种写法是对等的。
在本题中，直线 的方程也可以这样写：
. 但这样写存在两个问题：一是计算过程略显复杂；二是该方程不能表示直线倾角等于90° 的情况（斜率不存在），严格来说，需要单独讨论。直线方程用目前的写法，不仅简化了计算，而且使证明过程更严格。
在最近十年的高考题中，类似的例子还有一些。需要引起注意。
【解答第2问】
利用第1问的结论可知：圆心 在线段
的垂直平分线上。根据两点坐标可得垂直平分线的方程：
另一方面，点 都在抛物线上，可以用平方差法推导斜率与中点的关系：
由于点在垂直平分线上，可设其坐标为：
由于 这四个点在同一条直线上，所以：
圆心坐标为：；相应的斜率为：
，相应的半径为：
所以，满足条件的解有两组：
第1组：， 直线方程为：
，圆的方程为：
第2组：， 直线方程为：
，圆的方程为：
【常用命题】
本题实际上涉及以下常用命题：
** 为坐标原点，过点
的直线
与抛物线
交于
两点，则
. **
读者可以自己完成以上命题的证明。
常用命题不同于定理，在教科书上，定理都以黑体字的形式出现；而常用命题则经常出现以命题或者习题中。
【提炼与提高】
本题难度中等。涉及到了解析几何中一些常见的方法和问题：
- 用平方差法推算弦的斜率公式；
- 用韦达定理论证两向量垂直，进而得出结论：原点在圆上。
- 垂直平分线的方程，可以根据线段的两个端点的坐标迅速地写出。
垂直平分线方程的这种写法，在教科书的例题中出现过。再次提醒大家：切勿盲目刷题。 高考题并非空中楼阁。在刷题的过程中，联系教材，及时总结，才能达到事半功倍的效果。
