解析几何之目：2018年数学全国卷B题20

2018年数学全国卷B题20

分值：12分

设抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k(k \gt 0 )$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点， $|AB| =8$ .

（1）求 $l$ 的方程;
（2）求过点 $A,B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程.

【第1问的解法一】

由椭圆方程可知：焦距 $p=2$ ; 焦点坐标为 $(1,0)$

$AB$ 是过焦点的弦，其长度与倾角存在以下关系：

$|AB|=\dfrac{2p}{\sin^2\alpha}$

$\sin^2\alpha =\dfrac{2p}{|AB|} = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{\tan^2\alpha}+1=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}=2$

$\Rightarrow \tan^2\alpha=1$

∵ $k \gt 0$ , ∴ $k=\tan\alpha=1$ .

直线 $l$ 的方程为： $x=y+1$ .

【第1问的解法二】

抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦距 $p=2$ ,

焦点为 $F (1,0)$ ，过焦点的直线方程可设为： $x=1+\lambda y$ .

联立直线与抛物线方程得： $y^2 -4\lambda y -4=0$

$y_1+y_2=4\lambda$

$y_1y_2=-4$

$(y_1-y_2)^2=16(\lambda^2+1)$

$|AB|^2=(\lambda^2+1)(y_1-y_2)^2 =16(\lambda^2+1)^2=8^2$

$\lambda^2=1$

又∵ $k\gt 0, \dfrac{1}{k}\gt 0$ , $\lambda \gt 0$ ,

∴ $\lambda =1, k=1$ .

直线 $l$ 的方程为： $x=y+1$ .

【问题2的解法一】

记点的坐标为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ ，并记 $AB$ 中点为 $M(x_{_M},y_{_M})$ .

∵ 点 $A,B$ 在曲线 $C$ 上，∴ $\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \cdot (y_1+y_2) = 4$ .

根据问题1的结论， $\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = 1$ , ∴ $y_1+y_2=4$ ,

$y_{_M}=2, x_{_M}=3$ .

中点坐标为 $M(3,2)$ .

$A,B$ 坐标分别为 $(3-2\sqrt{2}, 2-2\sqrt{2}), \; (3+2\sqrt{2}, 2+2\sqrt{2})$ .

弦 $AB$ 的垂直平分线方程为： $y=-x+5$

记所求圆的圆心为 $T$ . 圆心在弦 $AB$ 的垂直平分线上，其坐标可设为： $T(t, -t+5)$ .

抛物线 $C$ 的准线为： $x=-1$ .

因为圆 $T$ 与准线相切，所以

$(t+1)^2 = (t-3-2\sqrt{2})^2 + (-t+5-2-2\sqrt{2})^2$

$t^2-14t+33=0$

$t_1=3,\; -t_1+5= 2, R_1=4$ ;

$t_2=11,\;-t_2+5=-7, R_2=12$ ;

结论：过点 $A,B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆有两个：

$(x-3)^2+(y-2)^2=16$

$(x-11)^2+(y+7)^2=144$ .

【第2问的解法二】

因为 $AB$ 是抛物线上的弦，

$y^2=4x \Rightarrow \dfrac{y_{_A}-y_{_B}}{x_{_A}-x_{_B}} \cdot (y_{_A}+y_{_B})=4$

$\Rightarrow y_{_M}=2$

$\Rightarrow x_{_M}=3$

$AB$ 的垂直平分线的斜率为 $-1$ ，其方程为： $y=-x+5$

圆心在此直线上，其坐标可设为 $(t,-t+5)$

圆心到准线的距离与到 $A,B$ 两点的距离相等，由勾股定理可得：

$(t+1)^2=(t-3)^2+(-t+5-2)^2+16$

$t^2-14t+33=0$

$(t-3)(t-11)=0$

$\Rightarrow\;t_1=3,t_2=11$

$\Rightarrow\; R_1=4,R_2=12$

相应的圆的方程为：

$(x-3)^2+(y-2)^2=16$

$(x-11)^2+(y+6)^2=144$

【提炼与提高】

在直角坐标系中，应用韦达定理，可以根据方程求弦长，也可以根据弦长求斜率。

对于抛物线的焦点弦，还有以下弦长公式可用：

$\boxed{|AB|=\dfrac{2p}{\sin^2\alpha }}$

该公式可从抛物线的极坐标推出，对于提高解题速度，是很在帮助的.

第2问的解答中，数形结合作了分析。根据垂径定理可知：圆心在弦的垂直平分线上。为了求出圆心坐标，我们使用了「点差法」，根据弦的斜率迅速地求出了弦的中点坐标。

第2问的两个解法区别不大。解法一是先求出 $A,B$ 两点的坐标，根据距离公式列方程；解法二则根据勾股定理列方程。

本题难度不高。解答过程中用到的都是基本概念和常用操作。

最后编辑于：2023.01.17 20:17:03

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 214,172评论 6赞 493
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 91,346评论 3赞 389
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 159,788评论 0赞 349
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 57,299评论 1赞 288
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 66,409评论 6赞 386
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 50,467评论 1赞 292
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 39,476评论 3赞 412
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 38,262评论 0赞 269
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 44,699评论 1赞 307
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 36,994评论 2赞 328
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 39,167评论 1赞 343
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 34,827评论 4赞 337
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 40,499评论 3赞 322
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 31,149评论 0赞 21
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,387评论 1赞 267
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 47,028评论 2赞 365
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 44,055评论 2赞 352

解析几何之目：2018年数学全国卷B题20

2018年数学全国卷B题20

推荐阅读更多精彩内容