解析几何之目：2018年数学全国卷B题20

2018年数学全国卷B题20

分值：12分

设抛物线 C:y^2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k \gt 0 ) 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点，|AB| =8.

（1）求 l 的方程;
（2）求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程.

【第1问的解法一】

由椭圆方程可知：焦距 p=2; 焦点坐标为 (1,0)

AB 是过焦点的弦，其长度与倾角存在以下关系：

|AB|=\dfrac{2p}{\sin^2\alpha}

\sin^2\alpha =\dfrac{2p}{|AB|} = \dfrac{1}{2}

\dfrac{1}{\tan^2\alpha}+1=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}=2

\Rightarrow \tan^2\alpha=1

∵ k \gt 0, ∴ k=\tan\alpha=1.

直线 l 的方程为：x=y+1 .

【第1问的解法二】

抛物线 C:y^2=4x 的焦距 p=2,

焦点为 F (1,0)，过焦点的直线方程可设为：x=1+\lambda y.

联立直线与抛物线方程得：y^2 -4\lambda y -4=0

y_1+y_2=4\lambda

y_1y_2=-4

(y_1-y_2)^2=16(\lambda^2+1)

|AB|^2=(\lambda^2+1)(y_1-y_2)^2 =16(\lambda^2+1)^2=8^2

\lambda^2=1

又∵ k\gt 0, \dfrac{1}{k}\gt 0, \lambda \gt 0,

∴ \lambda =1, k=1.

直线 l 的方程为：x=y+1.

【问题2的解法一】

记点的坐标为 (x_1,y_1),(x_2,y_2)，并记 AB 中点为 M(x_{_M},y_{_M}).

∵ 点 A,B 在曲线 C 上，∴ \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \cdot (y_1+y_2) = 4.

根据问题1的结论，\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} = 1, ∴ y_1+y_2=4,

y_{_M}=2, x_{_M}=3.

中点坐标为 M(3,2).

A,B 坐标分别为 (3-2\sqrt{2}, 2-2\sqrt{2}), \; (3+2\sqrt{2}, 2+2\sqrt{2}).

弦 AB 的垂直平分线方程为： y=-x+5

记所求圆的圆心为 T. 圆心在弦 AB 的垂直平分线上，其坐标可设为：T(t, -t+5).

抛物线 C 的准线为：x=-1.

因为圆 T 与准线相切，所以

(t+1)^2 = (t-3-2\sqrt{2})^2 + (-t+5-2-2\sqrt{2})^2

t^2-14t+33=0

t_1=3,\; -t_1+5= 2, R_1=4;

t_2=11,\;-t_2+5=-7, R_2=12;

结论：过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆有两个：

(x-3)^2+(y-2)^2=16

(x-11)^2+(y+7)^2=144.

【第2问的解法二】

因为AB 是抛物线上的弦，

y^2=4x \Rightarrow \dfrac{y_{_A}-y_{_B}}{x_{_A}-x_{_B}} \cdot (y_{_A}+y_{_B})=4

\Rightarrow y_{_M}=2

\Rightarrow x_{_M}=3

AB 的垂直平分线的斜率为 -1，其方程为：y=-x+5

圆心在此直线上，其坐标可设为 (t,-t+5)

圆心到准线的距离与到 A,B 两点的距离相等，由勾股定理可得：

(t+1)^2=(t-3)^2+(-t+5-2)^2+16

t^2-14t+33=0

(t-3)(t-11)=0

\Rightarrow\;t_1=3,t_2=11

\Rightarrow\; R_1=4,R_2=12

相应的圆的方程为：

(x-3)^2+(y-2)^2=16

(x-11)^2+(y+6)^2=144

【提炼与提高】

在直角坐标系中，应用韦达定理，可以根据方程求弦长，也可以根据弦长求斜率。

对于抛物线的焦点弦，还有以下弦长公式可用：

\boxed{|AB|=\dfrac{2p}{\sin^2\alpha }}

该公式可从抛物线的极坐标推出，对于提高解题速度，是很在帮助的.

第2问的解答中，数形结合作了分析。根据垂径定理可知：圆心在弦的垂直平分线上。为了求出圆心坐标，我们使用了「点差法」，根据弦的斜率迅速地求出了弦的中点坐标。

第2问的两个解法区别不大。解法一是先求出 A,B 两点的坐标，根据距离公式列方程；解法二则根据勾股定理列方程。

本题难度不高。解答过程中用到的都是基本概念和常用操作。

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