标签： 高中数学 高考真题 解析几何 数学思想与方法 点差法
2020年理数全国卷A题20 (12分)
已知 
分别为椭圆 )
的左、右顶点，
为 
的上顶点，
. 
为直线 
上的动点，
与 的另一交点为 
，
与 的另一交点为 
.
(1) 求 的方程；
(2) 证明：直线 
过定点。
【解答第1问】
先来解答基础性的第1问。
依题意可知：
三个点的坐标为：%2CB(a%2C0)%2CG(0%2C1)%3B)
代入题设条件可得：
(a-0)%2B(1-0)(0-1)%3D8)
的方程为：
【第2问分析】
解答高考数学题，有两条基本的路线（方向）：其一，是向某些基本的模型（题型）靠拢；其二，是从基本的思想和方法出发进行分析。
本题我们采用路线二来解决，并用“自问自答”的方式来展示分析过程。
： 本题中有哪些对象？对象之间有何关联？
： 本题中，基本的对象有椭圆、直线、椭圆的弦。 是直线 
上的动点；而 是椭圆上的定点。
： 如何证明一条直线过定点？
： 如果一个定点的坐标始终满足一个直线族（动直线的集合）的方程，则这个定点始终在这些变动的直线上；则直线过这个定点。
如果方程可以写成：
，则定点在 
轴上，其坐标为 )
.
如果方程可以写成：
，则定点在 
轴上，其坐标为 )
.
相对而言，多数人对第一种形式较为熟悉；而对第二种形式就生疏一些。命题人有时就在这点上作文章。
： 从几何角度分析，能够得出哪些结论？是否可以猜出定点的大致位置？
： 从对称性的角度考虑问题。 轴是椭圆 和直线 公共的对称轴。因此，对于直线 上的任一点 
, 其关于 轴的对称点 
也在这条直线上。
顺首这条思路往下走：假如我们把 换成 
，那么，直线 也就换成了 
. 注意 和 是关于 轴对称的两条直线，它们的公共点必定在 轴上。
因此，本题中的定点一定在 轴上。这是一个重要的阶段性结论。可以帮助我们简化后面的计算。
： 从代数的角度分析，可以得出哪些结论？哪些量是已知的？哪些量是未知？哪些量是变化的？变化的量之间存在什么关联？
： 本题中，椭圆的方程已知（第1问的结论）；点 是已知的定点；
是动点；
直线 是已知的定直线；
则是动直线。
注意：
这几个点都在椭圆上。所以，本题中可以找出多条椭圆的弦：
椭圆的弦是高中解析几何的重要研究对象。它具有以下性质：
： 椭圆的弦的性质：椭圆的弦的斜率与其中点的坐标存在一个简洁的联系。对于以原点为对称中心的椭圆，可以用公式表达如下：
或者：
上式中，
为弦 的中点；
代表原点。
这个性质，并不是定理，但是使用平方差法（又称点差法）可以迅速地推导得出，可以称为常用结论。在高考中，这个常用结论出现了多次。合理地猜想：这个性质对于解决眼前的问题也能发挥作用。
以上关系，对于本题中出现的众多的弦都是有效的。
由于 
（也就是 ） 是椭圆的弦，根据弦的斜率就可以求出弦的中点。
同理，根据直线 的斜率，可以求出点 的坐标。
注意： 都是椭圆上的点，过这四点的弦有多条。这些弦的中点坐标存在联系。
是椭圆的长轴，其中点为原点 . 对于另外的几个中点可命名如下：记 中点为 , 记 中点为 
, 记 
中点为 
; 几个中点的坐标存在以下关系：
%20%3D%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%20x_%7B_Q%7D)
%20%3D%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%20y_%7B_Q%7D)
因此，如果有了 
两点的坐标，就可以方便地求出点 的坐标。
如果算出点 的坐标，就可以求出直线 的斜率，并写出这条直线的点斜式方程。
如果求出直线 的方程，就可以算出所过定点的坐标，从而完成证明。
那么，直线 
的斜率是多少呢？回答是：取决于动点 的坐标。这个坐标比较简单，只有一个变量，可以设为 .)
借用函数及映射的符号，以上关系可以总结如下：
)
)
%2C%20(x_%7B_N%7D%2Cy_%7B_N%7D)%20%5C%7D%20%5Crightarrow%20(x_%7B_Q%7D%2Cy_%7B_Q%7D)%20%5Crightarrow%20k_%7BCD%7D)
【解题计划】
理清以上关系之后，解答此题的路径（具体步骤）也就明确了：
1）引入参数 
以表达动点 的坐标；
2）求直线 的斜率；
3）求中点 的坐标；
4）计算中点 的坐标；
5）计算直线 的斜率；
6）写出直线 的点斜式方程；
7）求出定点坐标；
【解答第2问】
因为椭圆 的方程为： ，若点 在该椭圆上，
则：(x_%7B_M%7D-x_%7B_N%7D)%20%2B%20(y_%7B_M%7D%2By_%7B_N%7D)(y_%7B_M%7D-y_%7B_N%7D)%20%3D0)
%7D%7B(x_%7B_M%7D-x_%7B_N%7D)%7D%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B9%7D%20%5Cdfrac%7B(x_%7B_M%7D%2Bx_%7B_N%7D)%7D%7B(y_%7B_M%7D%2By_%7B_N%7D)%7D)
设点 坐标为：)
, 则直线 的斜率分别为：
1）当 
， 则点 
分别与点 
重合，直线 与 轴重合。
2）当 
:
两直线的方程为：%3B%20%5C%3B%5C%3B%20PB%3Ay%3D3t(x-3))
记 中点为 , 记 中点为 
, 记 中点为 
; 则有：
代入直线方程可求出两个中点的坐标：
由于 中点为原点，而 
中点分别为：
, 所以：
%20%3D%202%20x_%7B_Q%7D)
%20(81t%5E2%2B1)%7D)
同理可得：%7D%7B%20(9t%5E2%2B1)%20(81t%5E2%2B1)%7D)
%7D%7B4t%7D)
方程为：
方程可化为：
;
综上所述，对 )
, 直线 一定经过定点 )
. 证明完毕。
【微操指南】
作为高考压轴题，除了考查大的思路，命题人还会安排一些小的关卡和障碍，考验考生的综合实力。
本题的特点在于：点 的坐标较为复杂，会令一部分人望而生畏，就此止步。
对这个关卡，可以用以下思路破解。
点斜式方程的标准形式如下：)
在前面的分析中，我们从对称性角度已经得出结论：定点在 轴上，其坐标形式为
所以，我们采用点斜式方程的以下变形：%20%2B%20%5Cdfrac%7B1%7D%7Bk%7D%20y)
代入前面的计算结果可得：
%20(81t%5E2%2B1)%7D%20-%20%5Cdfrac%7B(27t%5E2-1)%7D%7B4t%7D%20%5Ccdot%20%5Cdfrac%7B6t(27t%5E2-1)%7D%7B%20(9t%5E2%2B1)%20(81t%5E2%2B1)%7D)
![= \dfrac{1}{ (9t^2+1) (81t^2+1) } \cdot [8 \times 27 t^2 + \dfrac{3}{2} (27t^2-1)^2 ]](https://math.jianshu.com/math?formula=%3D%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B%20(9t%5E2%2B1)%20(81t%5E2%2B1)%20%7D%20%5Ccdot%20%5B8%20%5Ctimes%2027%20t%5E2%20%2B%20%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D%20(27t%5E2-1)%5E2%20%5D)
![= \dfrac{2}{2(9t^2+1) (81t^2+1)}\cdot [2 \times 8 \times 9 t^2 + (27t^2)^2 - 2 \times 27t^2 +1]](https://math.jianshu.com/math?formula=%3D%20%5Cdfrac%7B2%7D%7B2(9t%5E2%2B1)%20(81t%5E2%2B1)%7D%5Ccdot%20%5B2%20%5Ctimes%208%20%5Ctimes%209%20t%5E2%20%2B%20(27t%5E2)%5E2%20-%202%20%5Ctimes%2027t%5E2%20%2B1%5D)
![= \dfrac{2}{2(9t^2+1) (81t^2+1)}\cdot [(27t^2)^2 + 10 \times 27t^2 + 1]](https://math.jianshu.com/math?formula=%3D%20%5Cdfrac%7B2%7D%7B2(9t%5E2%2B1)%20(81t%5E2%2B1)%7D%5Ccdot%20%5B(27t%5E2)%5E2%20%2B%2010%20%5Ctimes%2027t%5E2%20%2B%201%5D)
以上推导过程有一定复杂度。顺利完成类似任务的关键在于：经过开头的分析，我们已经知道定点在 轴上，所以我们相信：看起来十分复杂的分母和复杂的分子一定可以约分，最后化简为一个简单的形式。
这种“方向感”需要在平时培养。假如缺乏方向感，一味地强调熟练，是难以完成任务的。
【提炼与提高】
2017年理科数学全国卷一题20也是“定点问题”，但两题的解法是有区别的。请注意比较。
