1987年理数全国卷题21
定长为 的线段
的两端点在抛物线
上移动，记线段
的中点为
，求点
到
轴的最短距离，并求此时点
的坐标.
1987年理数全国卷
【分析】
我们向一些熟悉的、久经训练的问题靠拢。
已知抛物线的方程和直线方程，如何求弦的长度？
联立直线与抛物线的方程，应用韦达定理求解。
已知抛物线的弦的中点坐标，如何求出弦的方程？
用点差法可以推导出一个公式，根据弦的中点坐标可以算出弦的斜率。
综合应用以上经验，即可解答本题。
【解答】
首先，让我们假装弦的方程是已知的。
设弦 的方程为：
代入抛物线方程可得：
因为 都是抛物线上的点, 所以：
所以
记点 的坐标为
则
的方程为：
;
代入关于弦长的公式可得：
而已知弦长为3，所以
所以，点 的方程为：
应用均值不等式可得：
当且仅当 时等号成立。
综上可知：点 到
轴的最短距离为
; 此时点
的坐标为：
或
【提炼与提高】
已知抛物线的弦的中点，求弦的斜率。这是我们熟悉的问题。
已知弦所在直线的方程，求弦的长度，则属于解析几何中久经训练的基本的问题。
已知弦的长度，求弦的中点的轨迹方程。这是一个我们不熟悉的问题。但它与前面的问题关系密切，已知和待求对调，构成了“互逆”的问题。因此，我们可以把待求当作已知，已知当作待求，就把这个不熟悉的问题转化成为我们熟悉的问题。
化归与转化的思想，在高中数学的解题过程中经常用到。本解法是一个典型实例。
本题还有以下解法：
解析几何之目：1987年解析几何大题的解法之二~换元法
解析几何之目：1987年解析几何大题的解法之三~参数方程
