解析几何之目：1987年解析几何大题的解法之一~通解

1987年理数全国卷题21

定长为 3 的线段 AB 的两端点在抛物线 y^2=x 上移动，记线段 AB 的中点为 M，求点 M 到 y 轴的最短距离，并求此时点 M 的坐标.

1987年理数全国卷

【分析】

我们向一些熟悉的、久经训练的问题靠拢。

\boxed{\mathbb{Q1}} 已知抛物线的方程和直线方程，如何求弦的长度？

\boxed{\mathbf{A1}} 联立直线与抛物线的方程，应用韦达定理求解。

\boxed{\mathbb{Q2}} 已知抛物线的弦的中点坐标，如何求出弦的方程？

\boxed{\mathbf{A2}} 用点差法可以推导出一个公式，根据弦的中点坐标可以算出弦的斜率。

综合应用以上经验，即可解答本题。

【解答】

首先，让我们假装弦的方程是已知的。

设弦 AB 的方程为：x=ty+a

代入抛物线方程可得：y^2-ty-a=0

y_1+y_2=t,\; y_1 \cdot y_2=-a

\therefore (y_1-y_2)^2=t^2+4a

\therefore\; |AB|^2=(1+t^2)(y_1-y_2)^2=(1+t^2)(t^2+4a)

因为 A,B 都是抛物线上的点, 所以：x_A-x_B=y_A^2-y_B^2=(y_A+y_B)(y_A-y_B)

所以 \dfrac{x_A-x_B}{y_A-y_B}=y_A+y_B

记点 M 的坐标为 (x_0,y_0) 则 y_A+y_B=2y_0

\therefore\;\dfrac{x_A-x_B}{y_A-y_B}=y_A+y_B=2y_0

AB 的方程为：x-x_0=2y_0(y-y_0)

x=2y_0 \cdot y +(x_0-2y_0^2)

t=2y_0 ; a=(x_0-2y_0^2)

代入关于弦长的公式可得：

|AB|^2=(1+4y_0^2)(4x_0-4y_0^2)

而已知弦长为3，所以

(4x_0-4y_0^2)(4y_0^2+1)=9

4x_0=\dfrac{9}{4y_0^2+1}+4y_0^2

所以，点 M 的方程为：4x=\dfrac{9}{4y^2+1}+4y^2

应用均值不等式可得：\dfrac{9}{4y^2+1}+ (4y^2+1) \geqslant 6

当且仅当 (4y^2+1)=3 时等号成立。

(4y^2+1)=3 \Rightarrow y=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2},x=\dfrac{5}{4}

综上可知：点 M 到 y 轴的最短距离为 \dfrac{5}{4}; 此时点 M 的坐标为：(\dfrac{5}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{2}) 或 (\dfrac{5}{4},-\dfrac{\sqrt{2}}{2})

【提炼与提高】

已知抛物线的弦的中点，求弦的斜率。这是我们熟悉的问题。

已知弦所在直线的方程，求弦的长度，则属于解析几何中久经训练的基本的问题。

已知弦的长度，求弦的中点的轨迹方程。这是一个我们不熟悉的问题。但它与前面的问题关系密切，已知和待求对调，构成了“互逆”的问题。因此，我们可以把待求当作已知，已知当作待求，就把这个不熟悉的问题转化成为我们熟悉的问题。

化归与转化的思想，在高中数学的解题过程中经常用到。本解法是一个典型实例。
本题还有以下解法：

解析几何之目：1987年解析几何大题的解法之二~换元法
解析几何之目：1987年解析几何大题的解法之三~参数方程

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