双有理变换
《射影几何学的复兴》一节提到，1930s-40s射影几何的研究工作转向高次曲线，在深入研究前，研究性质发生了改变，摄影观点是指齐次坐标线性变换，随着二次、高次变换的研究，重点转向了双有理变换。在两个非齐次坐标的情形中，这个变换具有形式x'=Φ(x,y),y'=ψ(x,y)，其中Φ、ψ是x,y的有理函数，且x,y可表为x',y'的有理函数。齐次坐标的变换式为xi'=Fi(x1,x2,x3)，i=1,2,3。其逆变换是xi=Gi(x1',x2',x3'),i=1,2,3，其中Fi，Gi是各自变量的n次齐次多项式，除了有限多个点可能各对应于一条曲线之外，坐标是一一对应的。
圆的反演可以作为双有理变换的例子，从几何上讲，这个变换把M变到M'或把M'变到M，定义它的方程是OM·OM'=r^2，其中r是圆的半径。从代数上讲，若在O点建立一个坐标系，则由毕达哥拉斯定理导出，其中M的坐标为(x,y)，M'的坐标为(x',y')，在这个变换下圆可以变到圆或直线，也可以反过来变。
圆的反演
反演是把全平面变到自身的变换，这样的双有理变换称为克雷莫纳变换。三个（齐次）变量的克雷莫纳变换如二次变换x1'=x2x3,x2'=x3x1,x3'=x1x2，其逆是x1=x2'x3',x2=x3'x1',x3=x1'x2'。广义的双有理变换指把一曲线上的点变到另一曲线上的点的变换是双有理的，但在全平面的变换未必是双有理的。例如（非齐次坐标）变换
第一个出现的双有理变换是反演变换。彭赛列曾在1822年《论图形的射影性质》中使用反演变换，之后普吕克、施泰纳、凯特勒等人均使用过，莫比乌斯曾做过详细研究，开尔文和刘维尔曾认识到其在物理上的应用，后者把它称为半径互为倒数的变换。
数学教授克雷莫纳(Luigi Cremona,1830-1903)在1854年引入一般的双有理变换（把全平面变到自身）并写过多篇重要论文。马克斯·诺特（Max Noether，1844-1921，艾米诺特的父亲）证明了如下基本结果：一个平面克雷莫纳变换可由一系列二次及线性变换构成。Jacob Rosanes(1842-1922)独立发现该结果，还证明了所有平面上的一对一的代数变换必然是克雷莫纳变换。Guido Castelnuovo(1865-1952)将诺特和Rosanes的证明加以完善。
