1.8 群在集合上的作用：轨道，稳定子

令
$(\mathbb{Z}, +) \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $(n, x) \mapsto n + x,$ 说明这个映射给出了群 $(\mathbb{Z}, +)$ 在实数集 $\mathbb{R}$ 上的一个作用。

【解答】结合律 $(m + n)\circ x = (m + n) +x =m + (n + x) = m\circ(n \circ x)$
单位元 $0 \circ x = 0 + x = x$
说明这个映射给出了一个群在集合上作用。

令
$(\mathbb{Z}, +) \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $(n, x) \mapsto (-1)^n x,$ 说明这个映射给出了群 $(\mathbb{Z}, +)$ 在实数集 $\mathbb{R}$ 上的一个作用。

【解答】结合律 $(m + n) \circ x = (-1)^{m+n} x = (-1)^m (-1)^n x = m \circ (n \circ x)$
单位元 $0 \circ x =(-1)^0 x = x$

证明：映射 $\sigma: x \mapsto x^{-1}$ 是任一 Abel 群 $G$ 的一个自同构。

【解答】我们先说明 $\sigma$ 是一个双射: 单射如果 $\sigma(x) = \sigma(y)$ 也就是 $x^{-1} = y^{-1}$ ，所以 $x = y$ 。因此这是一个单射。
满射，对于任意 $y \in G$ 都有 $\sigma(y^{-1}) = (y^{-1})^{-1} = y$ 。从而 $\sigma$ 是满射。进而是一个双射。
由于 $G$ 是一个 $Abel$ 群，因此 $\sigma(xy) = (xy)^{-1} =y^{-1}x^{-1} = x^{-1}y^{-1 } = \sigma(x)\sigma(y)$ ，从而 $\sigma$ 是 $G$ 上的一个自同构。

设 $F$ 是一个域, 求一般线性群 $GL_n(F)$ 的中心。

【解答】和域 $F$ 上所有和 $n$ 级可逆矩阵都可以交换的矩阵一定是数量矩阵，因此 $Z(GL_n(F)) = \{kI | k \in F^*\}$ 。

$GL_2(\mathbb{C})$ 的每一个元素 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 引起了扩充复平面 $\mathbb{C} \cup \{\infty\}$ 上的一个变换：
$z \mapsto \frac{az + b}{cz + d},$
称它为 Möbius 变换。证明：
(1) 所有 Möbius 变换组成的集合 $G$ 对于映射的乘法成一个群, 称它为 Möbius 群；

(2) $GL_2(\mathbb{C})/Z(GL_2(\mathbb{C})) \cong G$ 。

【解答】前面已经验证了所有 Möbius变换组成的集合 $G$ ，以映射的符合作为乘法是一个群。

设 $G$ 是一个群, 证明：如果 $G/Z(G)$ 是循环群, 那么 $G$ 是 Abel 群。

【证明】不妨记 $Z(G) = N$ ,根据 $G/N$ 是循环群
，我们知道 $G / N = \langle aN \rangle$

我们考虑对于任意的 $x,y \in G$ 。有 $xN =(aN)^r = a^rN,yN =(aN)^s = a^sN$ .
所以 $x = a^r n_1,y=a^sn_2$ 其中 $n_1,n_2 \in N$ 。我们有 $xy = (a^r n_1)(a^sn_2) = a^{r+s}n_1n_2$ 这是因为 $N$ 是 $G$ 的中心，所以 $n_1,n_2$ 和 $G$ 中所有元素可交换决定的。同理，我们有 $yx = (a^s n_2)(a^r n_1) =a^{r+s} n_1n_2$
于是 $xy = yx$ ，从而 $G$ 是 $Abel$ 群。

分别求 $D_{2m-1}, D_{2m}$ 的中心, 其中 $m \geq 2$ 。

【解答】，对于 $\sigma,\tau \in D_{2m-1}, D_{2m}$ ，我们知道 $\sigma \tau \neq \tau \sigma$ ，所以 $\tau$ 必定不包含在它们的中心中，只需要考虑 $\sigma^i$
只需要考虑他和 $\tau$ 是否交换即可，若 $\sigma \tau = \tau \sigma$ 于是 $\tau \sigma^{i} \tau^{-1} = \sigma^{i}$ 即 $\sigma^{-i} =\sigma^{i}$ 即 $\sigma^{2i } = I$
这说明 $2i$ 需要是 $\sigma$ 阶数的整数倍。

①对于 $D_{2m-1}$ ， $\sigma$ 的阶为 $2m-1|2i$ 只可能 $2i=0$ ，此时 $Z(D_{2m-1}) = \{ I \}$
②对于 $D_{2m}$ , $\sigma$ 的阶为 $2m | 2i$ 只可能 $i = 0或m$ ，此时 $Z(D_{2m}) = \{I, \sigma^m\}$

求 $S_n$ 的中心, 其中 $n \geq 3$ 。

【解答】
$Z(S_n) = \{ I \}$

【注释】在下面求自同构群的例子中，我们有一些基本的原理可以应用，以便于简化我们的运算，比如说①自同构把单位元映成单位元②自同构把生成元映成生成元③自同构不改变元素的阶。

分别求 $6$ 次单位根群 $U_6$ 和 $9$ 次单位根群 $U_9$ 的自同构群。

【解答】考虑它们的生成元能快速解决这个问题：
$6$ 次单位根群 $U_6 \cong Z_6$ 。我们考虑 $Z_6$ 即可，在 $Z_6$ 的生成元只有 $\overline{1}$ 和 $\overline{5}$ 这两个，我们假设 $\sigma$ 是 $Z_6$ 上的自同构。
必只有 $\sigma(\overline{1}) = \overline{1}$ 或者 $\sigma(\overline{1}) = \overline{5}$

也就是说 $Aut(U_6) \cong S_2 \cong Z_6^*$

类似地，我们可以到的得到 $Aut(U_9) \cong Z_9^*$

求 $(\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2, +)$ 的自同构群。

【解答】
$(\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2, +)$ 上只有四个元素，一个一阶单位元，以及三个二阶元 $(0,1) (1,0)(1,1)$ ，根据自同构不改变元素的阶，我们把他们记作 $S = \{a_1,a_2,a_3\}$ 。
随后我们只需要验证 $S$ 上的任何一个置换都满足 $(\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2, +)$ 上的自同构，
就可以很快验证出来 $Aut((\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2, +)) \cong S_3$

求 $S_3$ 的自同构群。
【解答】
$S_3$ 上一共有 $6$ 的元素，其中除了单位元之外，还有 $3$ 个 $2$ 阶元 $(1 2) ,(13),(2 3)$ ， $2$ 个三阶元 $(123) (132)$ 。且满足 $(123) = (13)(12)$ 进一步分析可以发现 $3$ 阶元可以由 $2$ 阶元相乘得到，于是我们只需要分析 $2$ 阶元之间的映射即可。

经过验证可以发现:对于二阶元之间的任何置换都可以满足自同构，于是 $Aut(S_3) \cong S_3$

设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群, 如果 $G$ 的每一个自同构都把 $H$ 映成自身, 那么称 $H$ 是 $G$ 的特征子群。证明： $G$ 的中心 $Z(G)$ 和 $G$ 的换位子群 $G'$ 都是 $G$ 的特征子群。

【解答】
①对于任意的 $x\in Z(G), g \in G$ 有 $xg = gx$ 。于是 $\sigma(x)\sigma(g) = \sigma(xg)=\sigma(gx) =\sigma(g)\sigma(x)$ 。再根据 $\sigma$ 是自同构，因此 $\sigma(g)$ 可以取遍 $G$ 中所有元素，也就是说 $\sigma(x)$ 和 $G$ 中所有元素可交换。 $\sigma(x) \in Z(G)$ 再有 $\sigma$ 是自同构，所以 $\sigma(Z(G))$ 和 $Z(G)$ 中元素个数相等。
于是 $Z(G)$ 是 $G$ 的特征子群。
②对于任意的 $xyx^{-1}y^{-1} \in G'$ 我们有 $\sigma(xyx^{-1}y^{-1}) = \sigma(x)\sigma(y)\sigma(x)^{-1}\sigma(y)^{-1} \in G'$
再根据自同构可知 $G‘$ 是 $G$ 的特征子群。

分别求 $D_5, D_6$ 的所有共轭类。

【解答】①首先中心是一个单独的共轭类，由第7题知道， $D_5$ 的中心为 $\{I\}$ 。
接下来考虑 $\sigma^i$ 的共轭类， $C_{D_5}(\sigma^i) = \langle \sigma \rangle$ ,那么在 $\sigma^i$ 的共轭类里面的元素个数为 $[D_5 : C_{D_5}(\sigma^i)] = 2$ 。
经过计算可知 $\sigma$ 所在的共轭类为 $\{\sigma , \sigma^4\}$ , $\sigma^2$ 的共轭类为 $\{\sigma^2,\sigma^3\}$ .
接下来考虑 $\tau$ 的共轭类， $C_{D_5}(\tau) = \{I, \tau\}$ 因此在 $\tau$ 的共轭类里面的元素共有 $[D_5:C_{D_5}(\tau)] = 5$ 个，所以剩下的5个元素都在 $\tau$ 的共轭类中。综上所述， $D_5$ 有这四个共轭类。
②同样先考虑 $Z(D_6) = \{I,\sigma^3\}$ 这已经是两个共轭类了，
接下来 $\sigma$ 的共轭类为 $\{\sigma,\sigma^5\}$ , $\sigma^2$ 的共轭类为 $\{\sigma^2,\sigma^4\}$
最后考虑对于 $\tau$ 来说 $C_{D_6}(\tau) = \{I ,\tau,\sigma^3,\sigma^3\tau\}$
，因此它的共轭类共有 $3$ 个元素，最后考虑 $\sigma \tau$ 的共轭类也有三个元素即可。

分别求 $D_{2m-1}, D_{2m}$ 的所有共轭类。
$S_n$ 中, 设置换 $\sigma$ 的不相交的轮换分解式（包含所有的 $1$ -轮换）为
$\sigma = (a_1 a_2 \cdots a_{l_1})(b_1 b_2 \cdots b_{l_2}) \cdots (q_1 q_2 \cdots q_{l_t}),$
其中 $l_1 \geq l_2 \geq \cdots \geq l_t$ , 且 $l_1 + l_2 + \cdots + l_t = n$ , 则我们把有序整数组 $(l_1, l_2, \cdots, l_t)$ 称为置换 $\sigma$ 的型, 也称为 $n$ 的一个分拆。证明：
(1) $\sigma_1$ 与 $\sigma_2$ 在 $S_n$ 中共轭当且仅当 $\sigma_1$ 与 $\sigma_2$ 同型；
(2) $S_n$ 的共轭类的个数等于 $n$ 的分拆的个数。
求 $S_4$ 的共轭类的个数, 以及每个共轭类的代表和元素数目。
求 $A_4$ 的共轭类的个数, 以及每个共轭类的代表和元素数目。
$S_n$ 中, $\sigma$ 是一个 $n$ -轮换, 求 $\sigma$ 的共轭类里元素的个数, 以及 $C_{S_n}(\sigma)$ 。
求正交群 $O_2$ 的所有共轭类。
证明：群 $G$ 的子群 $H$ 为正规子群当且仅当 $H$ 是 $G$ 的一些共轭类的并集。

【证明】必要性，我们假设 $H \triangleleft \ G$ ,对于任意的 $h \in H$ ，我们有 $ghg^{-1}\in H$ 。所以 $h$ 所在的共轭类都包含在 $H$ 中。因此 $H$ 为一些共轭类的并集。
充分性：我们假设 $H$ 是 $G$ 的一些共轭类的并，那么对于任意的 $h\in H$ 和 $g \in G$ 都有 $g h g^{-1} \in H$ 成立。
显然这是充分必要条件。

(1) 求 $S_5$ 的共轭类的个数, 以及每个共轭类的代表和元素数目；
(2) 证明： $S_5$ 只有三个正规子群： $\{(1)\}, A_5, S_5$ 。
设 $G$ 是 $p$ -群, $N \triangleleft G$ , 且 $|N| = p$ 。证明： $N \subseteq Z(G)$ 。
【注释】 $p-$ 群是指每个元素都为素数 $p$ 的幂的群。常见的有 $Z_2,Z_4,Z_{81}$ 等等。
【解答】我们用 $\Omega_0$ 表示 $G$ 在集合 $N$ 上共轭作用的不动点集合，那么就有： $\Omega_0 = N \cap Z(G)$ 所以 $|\Omega_0| = |N \cap Z(G)| = |N| (mod\ p )$ 而 $|N| = p$ ，且 $Z(G) \cap N \subset N$ ，所以 $Z(G)\cap N = N$
于是 $N \subset Z(G)$
设 $G$ 是一个群, $G$ 的所有子群组成的集合记做 $\Omega$ 。令
$G \times \Omega \rightarrow \Omega$ $(a, H) \mapsto aHa^{-1}$ 容易验证这给出了群 $G$ 在 $\Omega$ 上的一个作用，称它为群 $G$ 在子群集合 $\Omega$ 上的共轭作用。
$H$ 的 $G$ -轨道 $G(H)$ 是由 $H$ 的所有共轭子群组成的。 $H$ 的稳定子群
$G_H = \{g \in G \mid gHg^{-1} = H\}$ 称为 $G$ 中的正规化子，记做 $N_G(H)$ 。容易看出 $H \triangleleft N_G(H)$ 。
证明：如果 $G$ 为有限群, $H < G$ , 那么 $H$ 的共轭子群的个数等于 $[G : N_G(H)]$ 。

【证明】轨道稳定子定理。

设 $H$ 是有限群 $G$ 的一个非平凡子群, 证明：
$G \neq \bigcup_{g \in G} gHg^{-1}.$
设 $G$ 为一个 $2k$ 阶群, $k$ 为奇数。证明： $G$ 必有指数为 $2$ 的子群。
【解答】考虑 $G$ 在集合 $G$ 上的左平移，由于 $|G| = 2k$ 于是左平移诱导出了 $G$ 到 $S_{2k}$ 上的一同态 $\phi$ 。根据左平移是忠实的，所以 $ker \phi = \{e\}$ 。
所以 $G \cong Im \phi, |Im \phi =2k|$ ，因此 $Im \phi$ 有2阶元。 $\phi(a)$ 只需要说明 $\phi(a)$ 是奇置换，就可以说明 $Im \phi$ 有指数为2的子群。这一结论见1.6的第12题的解答。
同构构造同态映射来说明。

设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群, 证明：群 $G$ 在左商集 $(G/H)_L$ 上的左平移的核等于 $\bigcap_{x \in G} xHx^{-1}$ 。
设 $G$ 是一个有限群, $H < G$ , 且 $[G : H] = n > 1$ 。证明： $G$ 或者有一个指数整除 $n!$ 的非平凡正规子群, 或者同构于 $S_n$ 的一个子群。
设 $G$ 为一个有限群, $p$ 为 $|G|$ 的最小素因子。证明：指数为 $p$ 的子群(如果存在)必为正规子群。
设群 $G$ 在集合 $\Omega$ 和 $\Omega'$ 上分别有一个作用 “ $\circ$ ” 和 “ $\cdot$ ”，如果 $\Omega$ 到 $\Omega'$ 有一个双射 $\sigma$ , 使得
$\sigma(a \circ x) = a \cdot (\sigma(x)), \quad \forall a \in G, \forall x \in \Omega,$
那么称群 $G$ 的这两个作用是等价的。证明：群 $G$ 在 $\Omega$ 一集合 $\Omega$ 上的传递作用等价于群 $G$ 在左商集 $(G/G_x)_L$ 上的左平移, 其中 $x \in \Omega$ 。
设 $N$ 和 $H$ 是两个群, 并且 $H$ 到 $\text{Aut}(N)$ 有一个同态 $\psi$ , 在集合 $N \times H$ 上定义一个二元运算如下：
$(n_1, h_1)(n_2, h_2) := (n_1 \psi(h_1)n_2, h_1h_2).$
证明： $N \times H$ 成为一个群, 称它为 $N$ 与 $H$ 的半直积，记做 $N \rtimes H$ 。令 $\tilde{N} = \langle (n, e) \mid n \in N \rangle$ , 证明： $\tilde{N} \triangleleft N \rtimes H, \tilde{N} \cong N$ 。
设 $G$ 是一个群, $N \triangleleft G, H < G$ 。证明：如果 $G = NH$ , 且 $N \cap H = \{e\}$ , 那么 $G \cong N \rtimes H$ 。此时我们记成 $G = N \rtimes H$ , 称 $G$ 可分解成它的正规子群 $N$ 与子群 $H$ 的半直积(此概念参看习题 1.6 的第 10 题)。
设群 $G$ 和群 $\tilde{G}$ 分别在集合 $\Omega$ 和 $W$ 上有一个作用。令
$(G \times \tilde{G}) \times (\Omega \times W) \rightarrow \Omega \times W$ $((g, \tilde{g}), (x, y)) \mapsto (g \circ x \cdot \tilde{g} \circ y).$ 证明：这给出了群 $G \times \tilde{G}$ 在集合 $\Omega \times W$ 上的一个作用, 称它是乘积作用；并且求 $(x, y)$ 的 $G \times \tilde{G}$ -轨道, 以及 $(x, y)$ 的稳定子群。
证明： $n$ 阶循环群 $G = \langle a \rangle$ 的自同构群同构于 $\mathbb{Z}_n^*$ 。

【解答】我们知道 $n$ 阶循环群的生成元有 $\phi(n)$ 个, $a^k$ 是 $<a>$ 的生成元当且仅当 $k$ 与 $n$ 互素。
我们把这样的正整数可以记作 $\{k_1, k_2, k_3, \cdots, k_{\phi(n)}\}$
只需要验证 $\tau(a) = a^{k_i}$ 都是 $<a>$ 上的自同构即可。

1.8 群在集合上的作用：轨道，稳定子

1.8 群在集合上的作用：轨道，稳定子

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