随机变量的分布函数
问题：
- 离散型X：一一列举，可用分布律描述
- 非离散型X：不能一一列举，不能用分布律表示
实际问题：X：测量长度时的误差
等价于对于给定的x∈R,确定
的概率。
定义:设X是一个随机变量，x是任意实数,函数称为X的分布函数.
①定义域：
②值域：(非负性和有界性)
③应用：对于任意的x1,x2,存在x1<x2,那么
④分布函数：正是引入了分布函数，因此可以采用高等数学中的工具，来研究随机现象。
分布函数的几何表示：
将X看成数轴上的随机点的坐标，那么分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间(-o,x]上的概率.
性质：也是一个函数是分布函数的充要条件
- F(x)是单调不减函数，即：对于任意的x1<x2,有F(x1)≤F(x2).
-
是右连续的，即对任意
,
例：设随机变量X的分布律如下：
| X | -1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| Pk | 1/4 | 1/2 | 1/4 |
求X分布函数，及
解：
故：
离散型随机变量的分布函数的性质
已知离散型X：
则
①F(x)图形：一条阶梯型曲线，在x_k处间断，是一个跳跃间断点
②F(x)在X=xk处有跳跃值：Pk=P{X=x_k}
③F(x):分段函数；分段区间；左闭右开
例1：已知离散X的分布函数
求X的分布律。解答如下：
| X | -2 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P | 0.3 | 0.3 | 0.4 |
例2：一个靶子是半径为2m 的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。
(此例题对理解连续型随机变量很重要)
解：
①当x<0,{X≤x}是不可能事件,因此
②当0≤x≤2，P{0≤X≤x}=kx2(概率与面积成正比，k是正比系数，常数)，特别：取x=2 P{0≤x≤2}=4k，同时由实际得，P{0≤x≤2}=1，因此 k=1/4；故有：
③当x≥2时，又已知{0≤x≤2}，数轴上X≥2已经超过了范围，因此是必然事件。故因此：
两个例题：
1、已知随机变量X的概率密度为
解：
根据Y=g(X)的概率密度计算公式为：
2、设随机变量X的概率密度为
求随机变量
的概率密度
解：由分布函数定义可知
①当时：
②当
时:
③当时：
因此：
从而随机变量Y=eX的概率密度
为：
【总结】首先根据分布函数定义
写出关于Y的分布函数
,然后根据分布函数的导数是概率密度，可求出Y的概率密度．
