1
一个无理的戴氏分割显然在某种情形下代表一个无理数。为了利用这一点,使我们着手的不再是一个模糊的意识,我们必须觅得某个方法,从这一点引出一个精确的定义;而为了这样做,我们又必须先从我们的心目中破除一个谬见，就是以为一个无理数必是一个分数集合的极限。正如以1为分母的分数不等同于整数所以大于或小于无理数的有理数或以无理数作为具极限的有理数也必定不等于分数。因此，我们不得不定义一类新数，即所谓“实数”，在实数中有些是有理数，有些是无理数。有数“对应”于分数,正如分数”/1对应于整数"一样,然而它们不就是分数。为了判定实数究竟是什么，我们注意:一个无理分割代表一个无理数，一个分割的下部代表一个分割。让我们限制于下部没有极大的分割,在这种情形下我们称下部为一“节”(segment)。我们说对应于分数的节由小于其对应的分数的所有分数所组成，其所对应的分数即是节的边界，而代表无理数的那些节没有边界。无论有边界无边界，属于同一序列的任何两节，必是一节为另一节的部分,所以,所有各节全可按全体对部分的关系排成一个列。有戴氏空隙的序列，或者说,其中有些节没有边界的序列，它所产生的节比它所有的项还多,因为每一项确定一以此项为边界的节,至于没有边界的各节却无一项与之对应。
/实数为有理数和无理数的集合所定义。而非：先有连续的实数的概念，然后它们可以划分为有理数和无理数。基于这定义，数的连续就是一个不可判断的问题。类似于最大的自然数的概念。而现实中。也无论证它的必要。无论是否为真，并不影响目前的算术。类似于神或我的存在在笛卡尔那里的位置。高高在上而束之高阁，它并不勾连日常的经验。
“以为一个无理数必是一个分数集合的极限”，这是把实数的概念局限于有理数活分数。但是，无理数引出另一个维度的实数。分数也是一种关系，基于给出来的两个数，用简单数字符号所表示的两个数，其比值。这里是一个计算。但是无理数的情况有所不同。
比如圆周率。作为圆周长和直径的比值。一个圆给出之下，其周长和直径是确定或存在的。但是其长度还是有待度量而非作为数字所表示的东西直接给出来了。恰恰这里的度量是个问题。
这里，一个数的存在和其内容或数值的确定是可以分开来谈论的两件事情。在给出一个分数的有理数那里，其存在和内容一并给出来了。
但是测量对于数学问题总是不够的。那里引入了经验的偶然性。后来发展出关于无理数的无限递归的表达式。这体现出无理数和有理数的某种通约的努力。用分数的无限递归的构造来表示无理数。这也传达出来无理数在表示它的数字符号上的无限性。
数的连续的想法源于何处？任何有限精确的数，总是可以在最小精度上加1得到一个新的数。并且这个精度可以不断变高：小数点后10位，100位，只要说得出来的任何精度。这个序列似乎通达无限。但是现实是，这作为序列的极限的无限，并非作为设想中的思想，而是作为现实的东西要拿来运用。这时，我所能从这个序列中得到的任何精度都是有限而非无限的。因此，这个设想带来的并非数的连续、相邻数之间无限小间距的情况。对于数本身的思考，连续性的考虑，并不能由此得到说明。相反，基于这种方法人所可以设想的任何数都是分数或有理数。
（1/3这种除不尽的情况，但是就其表达式的有限而确定给出而言，它还是有理数。或者说，它就是一个标准的分数。而简单的数字所表示的数，比如0.5，是在数字符号层面上的有限确定地给出。而除不尽的分数，基于数字表达式中循环的确定，还是可以看作确定给出来的。而圆周率就不能在数字表达式中看作已经确定给出来的一个数，也不是在相除分数而言看作两个确定给出来的数之间的相除关系。在这里，圆周或直径，最多只能看作其中一个确定给出，而另一个只能看作其存在的确定而其数值还并未确定给出。）
“对应于分数的节由小于其对应的分数的所有分数所组成，其所对应的分数即是节的边界，而代表无理数的那些节没有边界。”
/这里节的边界，局限于分数。罗素还是一种使用有理数或分数来逼近表示无理数的思路。
“有戴氏空隙的序列，或者说,其中有些节没有边界的序列，它所产生的节比它所有的项还多,因为每一项确定一以此项为边界的节,至于没有边界的各节却无一项与之对应。”
/这里节可以是有边界的或没有边界的。而边界仅仅针对可基于分数所表示而言。而项指的是分数的。因而，节比项多。
而无理数，并非空想其存在。就如同分数总是作为确定数的商被确定给出被谈论。无理数比如圆周，总是基于某个比值的概念被谈论。离开这确定对象之间关系的概念，凭空设想某节里存在的无理数，是没有意义的。
2
现在我们能够定义一个实数和一个无理数。
一个“实数”即是以大小为序的分数序列中之一节。
一个“无理数”即是以大小为序的分数序列中无边界的一节。
“有理实数”即是以大小为序的分数序列中有边界的一节。
因之一个有理实数即是较某一-分数小的所有分数所组成，而此有理实数即对应于该分数。譬如实数I即是真分数所组成的类。
/一个数和一个数字所表示的数值。后者诸多构成的一个类，构成一条线上的逐点。需要区分表示诸数值的数字作为点它们所构成的线，和一个数作为一个量而非一个点。
这里的点，不是物体那样基于自身性质而确定和别的对象的关系的情况。而是，不同的点之间如同质料的无差别，区分它们的仅仅是所置于的不同位置。它本身已经作为参与量的构造嵌入其中而言。在罗素，就是边界的概念。
罗素在这里把数相应于节，是一个量的概念。譬如一段线的长，和其长度的数值其可以为一个数字所表示。数是一个量，数值是序列中的一项。
数和数值之间，比如一个正方形的边长是数，其值最后落到一个数字所表示。数和数值之间有着指称和所指的关系。前者是一个概念，后者具体到数字所表示的东西。涵义和意谓。
数的连续性源于后者的表达式（数字）的性质而忽视对于前者关系概念的审视。本质主义。
数作为对象，和作为量的区别。
谈论属于概念的一个数时，这个数源于基于概念为单位对于这概念所指的东西的计数。它是这个量的数字化表示。量是多，数字表示的数作为对象是一。数作为量所表示的多，和它作为对象在数学中的运算并无冲突。只是在理解何为数时的问题。数的定义和数的运算，是逻辑上独立的两个环节。
罗素对于数的定义：一个“实数”即是以大小为序的分数序列中之一节。这里，分数序列，是一个点或项的排列。但是这序列的一节，却是一个量而非一个点。可以把分数序列看作点，诸多点构成的线段就是节。
回到1：
为了判定实数究竟是什么，我们注意:一个无理分割代表一个无理数，一个分割的下部代表一个分割。让我们限制于下部没有极大的分割,在这种情形下我们称下部为一“节”(segment)。我们说对应于分数的节由小于其对应的分数的所有分数所组成，其所对应的分数即是节的边界，而代表无理数的那些节没有边界。无论有边界无边界，属于同一序列的任何两节，必是一节为另一节的部分,所以,所有各节全可按全体对部分的关系排成一个列。有戴氏空隙的序列，或者说,其中有些节没有边界的序列，它所产生的节比它所有的项还多,因为每一项确定一以此项为边界的节,至于没有边界的各节却无一项与之对应。
“一个无理分割代表一个无理数，一个分割的下部代表一个分割。”
代表，表示。这里有语言的情况。一个分割和一个数是不同的，其下部和它也是不同的。但是，存在前者代表或表示后者的用法。这里是一种一一相应的情况，而非相同或相等。语言的符号和含义之间，基于语法的确定存在一一相应。
"对应于分数的节由小于其对应的分数的所有分数所组成，其所对应的分数即是节的边界，而代表无理数的那些节没有边界。"
1）这里涉及分数和节的界定
对应于分数的节由小于其对应的分数的所有分数所组成：节是一个基于外延所定义的类，集合。这类下的项是诸小于其对应的分数的所有分数。
而前面这句话，一个分数基于对应关系用来表示一个节。对应关系并非就是相等关系。这样看，一个数就同时具有两种理解。一边是作为一个节的表示，它是一个类或集合，一个量。另一面是作为一个点。节的边界，节点。
罗素在自然数里有同类的使用。从1加一到n的自然数，其数的个数就是n。
2）从分数之间是否连续而言，这里总是存在任何分数作为一个确定的数和另一个确定的分数之间间隙的存在。所以，连续在这里近乎一个极限的意义上而言。给出任何确定的间隙，总是存在两个分数使得它们之间的差小于这个间隙。但是并不能由此断言连续。譬如无理数作为分数序列之间的间隙，是存在的。
另一方面，就日常设想用小数点表示的数而言，任何给出的有限的数或无限但是循环的数都是分数，所以用小数点的无限精确的设想，这里想的是一个跨越有理数和无理数的一半的实数。但是由于其无限，这数其实还是不确定给出来的。而我们在此需要基于确定指出的东西作为讨论的基础。作为用来讨论还没有确定的东西的支点。
回到2：
因之一个有理实数即是较某一分数小的所有分数所组成，而此有理实数即对应于该分数。譬如实数I即是真分数所组成的类。
数是一个节。节作为类或集合对应于某个数或者说用这个数所表示。这句话里这个数是一个项而非类。
3
以前我们很自然地假设:一个无理数必是一个分数集合的极限,其实是:一个无理数乃是在依全体与部分关系排列的节的序列中对应的有理实数集合的极限，例如根号2是对应于所有平方小于2的分数的那些分数序列的节的上极限。或者更简单地说，根号2是所有平方小于2的分数所形成的节。
/从这里可以看出，
1）节作为类或集合，其项由分数或有理数所构成。那么比如，根号3这个无理数相应的节或类里，有没有包含根号2这个无理数作为项？按罗素的定义，不包含。按直觉，后者作为无理数，它存在并且小于根号3，应该作为根号3这个数作为节的项。
如果不包含，那么根号2这个数就成为根号3这个节作为类，作为小于它的数的集合，这个集合的不完整。但是罗素的定义只用分数作为节的项。这样定义有什么好处？
这里蕴含了一个思想：有理数和无理数之间，前者作为某种更本源的地位。只用前者表示后者，而不倒过来。
2）根号2是对应于所有平方小于2的分数的那些分数序列的节的上极限。简单地说，根号2是所有平方小于2的分数所形成的节。
4.1
如一个序列的每一个分割都有一个边界，无论是上边界还是下边界;则此序列称为“戴氏的”序列。我们已经知道以大小为序的分数序列不是戴氏的序列。
4.2
任何序列的节所形成的序列是戴氏的序列，这是很容易证明的。因为，给定任意节的集合，它们的边界是这许多节的逻辑和，亦即,至少属于这个集合中的一节的所有那些项形成的类。
/1里戴氏序列在于有边界。以大小为序的分数序列在于没有最大也没有最小，它没有边界而非戴氏的。1 2 3 4以大小为序，但它只是以大小为序中特殊的加1的并且有限项的序列，而非以大小为序的任何分数之间的序列：以大小为序的分数序列不是戴氏的序列。
2里 任何序列的节，它由序列的边界所规定。看作一节的序列有其边界。因此，任何序列的节所形成的序列，指的是从具体的数的给出为起点它们构成的序列存在边界。这是简明的。对比前面 以大小为序的任何分数之间的序列的情况：这时以大小为序的任何分数本质上是一个弗雷格概念和对象的截然划分中的概念，不满足的。其外延无限。而分析哲学下罗素讨论的方式是用具体的东西的判断的真来刻画对象。罗素的普遍命题的方式，总是基于具体事实出发，谈论类的意义上的事实，给出任何具体的东西的判断作为全称命题的情况。这种谈论方式使得其普遍命题从来不飘：不会在对象上扩散到全称的任何对象。任何东西作为主语会带来难以判断的情况。那是无限的知识，不属于人所可知。
5
象上面所定义的实数，它们的加法和乘法也并不难定义。给定二实数u及v,每一实数均为一个分数的类，按照分数的加法在u及v中各任取一分子相加。由于变换u及v中所取出的分子,于是得到许多这样的和,所有这些和形成一类。这一类即是由分数所组成的一个新类，我们不难证明这个新类是分数序列的一个节，我们即以此定义u及v之和。这定义可以简化，现在叙述如下:
有二实数,每一实数是一类，在一类中取出一分子,在另一类中也取出一分子，所有可能选择出来的分子的算术和所形成的类就是二实数的算术和。
/这算术和作为一节，可以用其边界u+v来表示。u+v一方面表示涵义或相加的要求，另一方面，其算术中的加法运算，就是其和的计算方式。
