3是什么？

如果要对一个小朋友解释3是什么，我们该怎么做呢？伸出三根手指？摆出三支笔？告诉他这是一个可以和它的其他同类做加法乘法运算的数字？或者只是一个写在纸上的符号？

如果在我们的面前有一棵树，我们指着它说这是树，那它就代表了树。相反，我们不能站在任何一个实体面前指着它说这是3，它似乎只是一个存在于我们大脑中的抽象概念。但是，几乎没有人认为自己不知道3是什么东西，当一个人提到3的时候没有人会问3是什么。当然，除了3，我们还知道0、1、2、4、5、6、7、8、9……，它们的存在性和对“它们是什么”这样问题的回答就像是一个毋庸置疑的真理，如此自然，因此我们把它们称之为自然数。

果真如此吗？

假设我们想数一个筐子里有多少个苹果，我们可以把苹果一个个拿出来用自然数数：一个苹果、两个苹果……直到我们发现，有一个苹果被切开了一半。这时候我们要怎么继续数下去呢？半个苹果？这里涉及到一个同一性问题，如果我们不承认一个苹果是苹果，倒也无妨。

但是随着对精确性的追求，自然数无法再满足人们的需求。例如，当我们想定义2-3这样的运算；当我们把一条3米长的线从正中间剪开，并且想测量剩下两段的长度；以及，最最糟糕的，当我们有一个边长是3米的正方形，我们想测量它的对角线长度。

因此，随着应用的需求，整数、有理数以及实数的概念随之产生。这些抽象概念的产生是一个逐步实现的过程，换言之，它们都有一个从模糊的概念到逐渐严格的过程。作为简单的应用，模糊的概念看起来已经足够，我们可以轻松地定义整数-1=2-3、有理数3/2是被剪开的那两条线的长度，而无理数3乘根号2是边长为3的正方形的对角线长度。但是，我们无法回答更深入更具有一般性的复杂问题，例如：

“任给两个实数a和b，如果a<b，是否在a和b之间总是存在一个有理数c，使得a<c<b？”

“任给一堆非无穷实数，是否存在一个实数使得它比所有这堆实数都要大且又是所有比这堆实数都要大的实数中最小的那个？”

定义的不严格性为数学理论的研究带来了很大的问题。微积分在17世纪就由牛顿和莱布尼兹提出并且在现代数学中被极为广泛的应用，但是由于微积分中所谓“无限小”的这一概念在被提出之初并未被严格精确定义，人们对一些问题无法给出答案，例如：“一个函数的间断点要多到什么程度才能使得我们不能求出它的积分？”、“对于一个函数的求导和积分运算是否可以交换其运算顺序？”。“无穷小”概念的模糊引起了第二次数学危机，由此引发了一系列为数学提供更坚实、更严格理论基础的研究，严格性也成为了现代数学研究的一个最重要特点。

数学中很多概念的模糊性来源于“无穷”这个概念，而无穷这个概念几乎出现在数学研究的每一个地方。在追求数学严格化地背景之下，数学家康托尔在19世纪末提出了集合论，对无穷的概念做出了一系列精确的定义。并且基于这些定义回答了诸如自然数和实数那个更多的问题，以及上面那两个看似复杂的问题。

而集合论不仅限于此，在分析哲学鼻祖弗雷格等人的推动下，集合逐渐成为了定义许多数学概念甚至哲学概念的基础，它在关于理性和智慧的精神世界中肆意的繁衍，逐渐成为了一切的定义一切的本原，让我们可以用集合构造出精神世界中的一切符合逻辑的东西，当然也包括所有的数字。

现在我们可以回答这个问题了。3是什么？集合论告诉我们，3是一个集合。

然而，让弗雷格没想到的是，在他用集合论打下地基的大厦即将完工之际，当时还年轻的哲学家罗素写了一封信告诉他，大厦的地基似乎出了点问题。这个问题带来了第三次数学危机，并且直到今日，那种看起来对其有些许拆东墙补西墙的挽救方式仍然存在争论。