Sylow定理及其应用

(Sylow第一定理) 设群 G 的阶为 p^m l，其中 p 为素数，(m, p) = 1, l > 0。

则对 1 \leq k \leq l，G 中必有 p^k 阶子群，其中 p^k 阶子群称为 G 的 Sylow p-子群。

(Sylow第二定理) 设群 G 的阶 n = p^m l，p 为素数，(m, p) = 1, l > 0，则

  1. 对于 1 \leq k \leq l，G 的任一 p^k 阶子群必包含于 G 的某个 Sylow p-子群中。
  2. G 的任意两个 Sylow p-子群为正规子群当且仅当 G 的 Sylow p-子群个数为 1。

(Sylow第三定理) G 中 Sylow p-子群个数 m_p 同余于 1，且 m_p 为 l 内 m 的因子。
r \equiv 1 \pmod{p}\ \ 且\ \ \ r | m

这三个定理分别说明了Sylow\ p-子群的存在性，之间的关系和数量，以下的例题更加具体的体现出Sylow定理的应用。

方法一：直接通过某个Sylow\ p-子群是唯一的，说明他是一个正规子群。
①证明 148 阶群不是单群。

证明：设 G 的阶为 148 = 2^2 \times 37，考虑 G 的 Sylow 37-子群。

r = 37b + 1 \quad r | 4 \quad r = 1

G 的 Sylow 37-子群为正规子群，G 不为单群。

方法二：证明非平凡正规子群的存在性
注意这种方法只有当r不是很大，满足S_r小于G的阶数的时候才有效。
例一：证明 12 阶群不是单群。

证明：设 G 的阶为 12 = 2^2 \times 3，考虑 G 的 Sylow 2-子群（设为 P_2）和 Sylow 3-子群（设为 P_3）。

① 若 r = 1，则 G 的 Sylow 2-子群为正规子群。

② 若 r = 3，则 G 的 Sylow 2-子群有三个P_1,P_2,P_3

G 在 \Omega 上有共轭作用：g作用在P_i上成为gP_ig^{-1}，这个共轭作用诱导出了G 到 S_3 上的同态，
G/\ker \varphi \cong \text{Im } \varphi
由于\text{Im } \varphi \leq |S_3|=6
所以|\ker \varphi| \geq 2 \ker \varphi \neq {e}
再考虑，若 \ker \varphi = G，则 对于任意g \in G gP_1g^{-1}=P_1，P1 为正规子群。
与 r = 3 矛盾，从而 \ker \varphi 为非平凡正规子群。

故 12 阶群不为单群。

例二：证明不存在 36 阶单群。

设群 G 的阶为 36 = 2^2 \times 3^2，考虑 G 的 Sylow 3-子群。

设 r = 3^2 + 1 = 4

① r = 1 时，此时唯一的 Sylow 3-子群为正规子群。

② r = 4 时，G 有 4 个 Sylow 3-子群 P_1, P_2, P_3, P_4。

记 \Omega = \{P_1, P_2, P_3, P_4\}

G 在 \Omega 上有共轭作用，P_3 \rightarrow gP_3g^{-1}

由此共轭作用诱导出 G 到 S_4 上的同态，\ker \varphi \neq G

|G/\ker \varphi| \leq 24 \quad \ker \varphi \neq \{e\}

从而 \ker \varphi 为 G 非平凡正规子群，G 不为单群。

方法三:通过共轭的Sylow子群之间只有单位元一个公共元，通过总的元素的个数不超过G的阶数来证明
证明：不存在阶为 56 的单群。

设 G 的阶为 56 = 2^3 \cdot 7，考虑 G 的 Sylow 7-子群。

r = 7k + 1 \quad r | 8 \quad r = 1

① r = 1 时，Sylow 7-子群为正规子群。

② r = 8 时，Sylow 7-子群有 P_1, \ldots, P_8 共 8 个。

\forall i \neq j, \quad P_i \cap P_j = \{e\}

P_i, \ldots, P_8 \text{ 中共有 } 6 \times 8 + 1 = 49 \text{ 个元素}

再考虑 Sylow 2-子群，因为此时仅余 7 个元素，加上单位元，恰一个 Sylow 2-子群，不可能有超过 2 个 Sylow 2-子群。

从而 Sylow 2-子群正规。
综上，G 不为单群。这个方法也可以用来证明上面的12阶群不是单群。

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