一《高等代数》概念定义

摆线：动圆在定圆外侧滚动时，点P形成的轨迹是外摆线；动圆在定圆内侧滚动时，点P形成的轨迹就是内摆线。若动圆不再绕定圆两侧滚动，而让这个动圆在一条定直线上滚动时，那么动圆上的点P形成的轨迹就是摆线。摆线也叫"圆滚线"，毕竟是一个圆在直线上滚动时，圆上的一个点形成的曲线。

伴随矩阵：代数余子式构成的矩阵

标量矩阵

补子空间：给定子空间的直和是线性空间的子空间。设W是数域P上的线性空间V的 子空间 ，满足条件V=W+W′，且W∩W′= {0}的子空间W′称为W的余子空间，如果W是一个真子空间，则W的余子空间是不惟一的。

代数余子式

单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0。

典型群：与欧几里得空间的对称密切相关的四族无穷多李群。术语“经典”的使用取决于语境，有一定的灵活性。这个用法可能源于赫尔曼·外尔，他的专著 Weyl (1939) 以“典型群”为题。在菲利克斯·克莱因爱尔兰根纲领的观点下，也许反映了它们和“经典”几何（classical geometry）的关系。有时在紧群的限制下讨论典型群，这样容易处理它们的表示论和代数拓扑。但是这把一般线性群排除在外，当前都认为一般线性群是最典型的群。和典型李群相对的是例外李群，具有一样的抽象性质，但不属于同一类。

对称群：对称群是指含置换群为子类的一类具体的有限群。有限集合Ω上全体置换组成的群，称为Ω上对称群，记为SΩ或Sym(Ω)。由于当|Ω|=|Ω′|=n时，对称群SΩ和SΩ′是置换同构的，所以也把SΩ记为Sn。Sn的阶为n!。一切次数为n的置换群都可以看成Sn的子群，Ω上全体偶置换组成的群称为Ω上的交错群，记为AΩ或Alt(Ω)，或An，若n=|Ω|，则An的阶为n!/2，它是Sn的指数为2的正规子群。Sn，An这两个群在置换群理论和抽象群论中占有特殊的地位。这一方面由于对一切n，Sn是n重传递群，而当n>2时，An是n-2重传递群；另一方面也由于当n≥5时，An为单群，它们是一类重要的有限单群。

对换：

反称矩阵

范德蒙德行列式

仿射标架

仿射子空间

仿射坐标

分块对角矩阵

施密特正交化

规范正交基

核空间

恒同映射

基础解系

奇置换

渐伸线

镜射

零化度

内摆线

内积

欧几里得空间

偶置换

平面束

特殊正交群

同构

同态

外积

系数矩阵

线性流形

线性无关

线性子空间

一般线性群

增广矩阵

正交变换

直和

转置矩阵

自同态

伴随矩阵（Adjoint Matrix）：对于一个方阵A，其伴随矩阵是一个方阵，位于A的右侧，其元素是由A的代数余子式组成的。

增广矩阵（Augmented Matrix）：对于两个矩阵A和B，增广矩阵是将它们合并成一个矩阵[A|B]的方法，其中B的列添加到A的右侧。

对角矩阵（Diagonal Matrix）：一个方阵被称为对角矩阵，如果其非对角线上的元素都为零。

块矩阵（Block Matrix）：一个矩阵，其中包含其他的矩阵块作为其元素，这些块可以是方阵，也可以是行或列向量。

基础解系（Basic Solution Set）：对于一个线性方程组，其基础解系是一组线性无关的解，它们可以生成所有的解。

特征方程（Characteristic Equation）：对于一个方阵A，其特征方程是一个多项式方程，用于找到A的特征值。它通常表示为det(A-λI)=0，其中λ是未知特征值，I是单位矩阵。

特征多项式（Characteristic Polynomial）：对于一个方阵A，其特征多项式是关于特征值的方程，通常表示为charpoly(A)=det(A-λI)。

系数矩阵（Coefficient Matrix）：在方程组中，系数矩阵是包含未知数指数和系数的矩阵。

代数余子式（Cofactor）：对于一个方阵A的某一行和某一列，其代数余子式是A的子矩阵的行列式，该子矩阵由该行和该列删除。

列向量（Column Vector）：一个m×1的矩阵，通常被视为一个有m个元素的列向量。

行列式（Determinant）：对于一个方阵A，其行列式是所有可能的对角线元素乘积的代数值。

对角元素（Diagonal Entries）：对于一个方阵A，其对角元素是位于主对角线上的元素。

特征空间（Eigenspace）：对于一个方阵A的特征值λ，其特征空间是所有对应于λ的特征向量的线性组合。

特征值（Eigenvalue）：对于一个方阵A，其特征值是使方程det(A-λI)=0成立的值λ。

特征向量（Eigenvector）：对于一个方阵A的特征值λ，其特征向量是满足(A-λI)v=0的向量v。

特征向量的基（Eigenvector Basis）：对于一个方阵A，其特征向量的基是由A的所有线性无关的特征向量组成的集合。

初等矩阵（Elementary Matrix）：由一行或一列的元素倍增或倍减引起的单位矩阵的初等变换对应的矩阵。

行初等变换（Elementary Row Operations）：用于将一个矩阵简化的三种标准变换：交换两行，将一行乘以非零常数，以及将一行加上另一行的倍数。

满秩（Full Rank）：对于一个矩阵，如果其行或列向量是线性无关的，那么它具有满秩。

通解（General Solution）：对于一个线性方程组，其通解是该方程组的所有解的一般形式。

齐次线性方程组（Homogeneous Linear Equations）：具有零右侧项的线性方程组。

单位矩阵（Identity Matrix）：一个方阵，其中主对角线上的元素都为1，其余元素都为0。

不定二次型（Indefinite Quadratic Form）：不能由平方和的正项组成的不完全二次型。

二次型（Quadratic Form）是一个非常重要并且广泛应用的数学概念。它是一个多项式，其每个项的次数都是2，且所有的项都有相同的变元次数。二次型是代数学的一个重要研究对象，与二次域、二次有理数、二次方程等都有密切联系。二次型的理论在物理学、几何学、概率论等领域都有广泛应用。例如，在物理学中，二次型的理论可以用来描述物体的运动轨迹、光的传播等；在几何学中，二次型的理论可以用来描述二次曲面；在概率论中，二次型的理论可以用来描述高斯分布等。二次型的标准形式是 ax^2 + bxy + cy^2，其中a、b、c都是实数或复数，且a≠0，c≠0。如果一个二次型可以用标准形式表示，那么我们称其为正规二次型。如果一个二次型不能用标准形式表示，那么我们称其为非正规二次型。

无限维空间（Infinite-dimensional Space）：具有无限多个元素的线性空间。

内积（Inner Product）：对于两个向量v和w，其内积是在实数或复数域上的标量值，由它们的坐标相乘并加总得到。

逆矩阵（Inverse of Matrix）：对于一个可逆方阵A，其逆矩阵是一个满足(A^(-1))A=I的方阵A^(-1)。

线性组合（Linear Combination）：由一组向量线性组合得到的向量。

二概率论

概率（Probability）：概率是描述结果可能性大小的数值，其取值范围在0到1之间。

随机事件（Random Event）：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

样本空间（Sample Space）：一个试验所有可能结果的集合。

事件（Event）：样本空间中的一部分，用来描述所感兴趣的结果。

样本点（Sample Point）：样本空间中的元素，即试验的一个可能结果。

频率（Frequency）：某个事件发生的次数与总试验次数之比。

概率分布（Probability Distribution）：描述试验结果属于某个结果区间的可能性大小的函数。

概率密度函数（Probability Density Function）：描述某个结果附近极限小区间内的概率总和的函数。

期望值（Expected Value）：对于一个随机变量，其所有可能取值的概率乘以该值后的总和。

方差（Variance）：描述随机变量离散程度的度量，等于每个随机变量平方的期望值减去期望值的平方。

标准差（Standard Deviation）：方差的平方根，也用来描述随机变量的离散程度。

协方差（Covariance）：用来描述两个随机变量线性相关程度的统计量。

相关系数（Correlation Coefficient）：协方差除以两个随机变量的标准差的乘积，用于衡量两个随机变量的线性相关程度。

离散数学的一些重要概念及解释如下：

命题逻辑：研究基于命题的逻辑推理。

谓词逻辑：研究基于谓词的逻辑推理。

逻辑代数：将逻辑关系抽象为代数形式，实现逻辑的符号化。

集合论：研究集合及其子集、交集、并集、补集等概念及其运算。

关系：研究元素之间的对应和连接方式。

图论：研究图的组成元素、图的性质以及图形结构等问题。

函数：一种映射或对应关系，将输入值映射到输出值。

逻辑推理：根据已知条件，通过推理得出结论。

递归：一种自我调用的函数或过程，可以用于定义递归问题和递归解决问题的方法。

证明论：一种数学方法，通过构造一个有效的证明来证明一个命题成立。

计算理论：研究计算的本质和计算的效率问题，包括算法、数据结构、时间复杂度等。

可计算性理论：研究哪些计算问题是可解的，哪些是难以解的，以及计算问题的分类等问题。

概率论：研究随机现象的数学规律，包括事件的概率、条件概率、独立性等概念及其运算。

离散概率：研究基于离散量的概率及其分布，包括离散分布、离散密度等概念及其运算。

数理统计：研究基于数据的统计推断，包括参数估计、假设检验、方差分析等概念及其运算。

布尔代数：处理逻辑运算和位运算的代数系统，布尔代数的元素只有两个，真和假。

集合的势：比较两个集合大小的一种方式。

关系的闭包：在一个内部函数中，能够调用外部作用域中的变量甚至参数。

等价关系：是一种二元关系，具有自反性、对称性和传递性。

偏序关系：是一种二元关系，具有自反性、反对称性和传递性。

三集合论

集合论是数学的一个基本的分支学科，它研究的是一般集合的性质和规律。以下是集合论的一些重要概念及其解释：

集合（Set）：这是集合论中最基本的概念。一个集合是由一组抽象对象构成的整体。这些对象可以是具体的，如苹果、皮球，也可以是抽象的，如数字、图形、函数。

元素（Element）：这是构成集合的个体，通常用小写的拉丁字母表示。一个元素可以属于一个集合，也可以不属于该集合。

成员关系（Membership）：元素与集合之间的关系就是成员关系。元素属于一个集合时，说该元素是该集合的成员；元素不属于该集合时，则称该元素不是该集合的成员。

空集（Empty Set）：不含任何元素的集合就是空集。空集是所有集合的子集。

子集（Subset）：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么该集合就称为另一个集合的子集。

真子集（Proper Subset）：如果一个集合是另一个集合的子集，且该两个集合不相等，那么这个子集就是真子集。

并集（Union）：如果一个集合中的所有元素都是另一个集合中的元素，或者两个集合中的元素有共同的元素，那么这两个集合的并集就是包含所有这些元素的集合。

交集（Intersection）：如果一个集合中的元素同时是另一个集合中的元素，那么这两个集合的交集就是这些相同的元素构成的集合。

补集（Complement）：对于一个集合A，在所有元素中去掉A中的元素后剩下的元素构成的集合，就是A的补集。

全集（Universal Set）：在讨论某个特定的问题时，我们把所有相关的元素放在一起构成一个特殊的集合，这个集合就称为全集。

罗素悖论（Russell's Paradox）：这是由伯特兰·罗素提出的一个关于集合论的自反性问题的悖论。该悖论指出，如果一个集合是由所有的不是自身的元素的集合组成的，那么这个集合是否是其自身的元素？

康托尔悖论（Cantor's Paradox）：这是关于集合论中的一个大小问题的悖论。康托尔悖论指出，在无限大的空间中，可以找到比任何给定集合更大的无限多的整数。

势（Cardinality）：集合中元素的数量称为该集合的势。在有限集合中，势等于元素的数量；在无限集合中，势可以是一个无穷大的数字。

等势（Equivalence）：如果两个集合的势相等，那么这两个集合就是等势的。例如，整数和偶数集都是自然数的子集，因此它们都是等势的。

基数（Cardinality of a Set）：集合中元素的数量就是该集合的基数。例如，集合 {1, 2, 3} 的基数就是 3。

无限集合（Infinite Set）：一个集合如果含有无限多个元素，那么这个集合就是无限集合。例如，自然数集 N 是无限集合。

可数无限集合（Countably Infinite Set）：如果一个无限集合可以和自然数集N建立起一一对应的关系，那么这个集合就是可数无限集合。例如，所有以 0 开头的自然数集就是可数无限集合。

不可数无限集合（Uncountably Infinite Set）：一个无限集合不能和自然数集 N 建立起一一对应的关系，那么这个集合就是不可数无限集合。例如，所有的实数集 R 就是不可数无限集合。

笛卡尔积（Cartesian Product）：对于两个集合 A 和 B，它们的笛卡尔积就是由所有可能的元素对(a, b)构成的集合，其中 a 是 A 的元素，b 是 B 的元素。

选择公理（Axiom of Choice）：又称为康托尔-伯恩施坦公理，它断言任何一组非空集合，都能从每个集合中选取一个元素，然后将这些元素合并成一个新的集合。

连续统假设（Continuum Hypothesis）：这是康托尔提出的一个假设，它断言在所有的无穷大中，实数集R的势是最大的。换句话说，不存在比R的势更大的无穷大集合。

序关系（Ordering Relation）：一种二元关系，用于描述两个元素的大小顺序。常见的序关系包括小于（<）、大于（>）、不大于（≤）、不小于（≥）等。

四数理统计学

总体（Population）：研究对象的全体称为总体，它是一个随机变量，对应着数据总和。

个体（Individual）：组成总体的每个基本单元称为个体。

样本（Sample）：从总体中抽取的一部分个体称为样本。样本是总体的一部分，用于对总体的特征进行推断。

统计量（Statistic）：根据样本计算出的一些量，用于对总体的特征进行推断。统计量的分布称为抽样分布。

参数（Parameter）：用来描述总体特征的量。参数是根据总体数据计算的，用于推断总体的特征。

假设检验（Hypothesis Testing）：根据样本数据对总体参数进行推断的一种统计方法。通常采用某种显著性水平进行假设检验，以判断假设是否成立。

置信区间（Confidence Interval）：对于一个未知参数，根据样本数据计算出的一个区间，该区间包含该参数的真实值有一定程度的概率。置信水平表示这个区间的可靠程度。

假设检验的p值（p-value in Hypothesis Testing）：当原假设为真时，获得现有样本结果或者更极端结果的概率。p值越小，原假设成立的可能性就越小。

中心极限定理（Central Limit Theorem）：数理统计学中的一个重要定理，它描述了当样本容量足够大时，样本均值的分布接近于正态分布，无论总体是否服从正态分布。

方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）：一种用于比较两个或多个组的方差的方法，以检验它们是否具有显著差异。这是在科学和商业领域广泛应用的一种技术。

回归分析（Regression Analysis）：研究一个或多个自变量和一个因变量之间的统计关系的一种方法，通过拟合回归模型来预测因变量的值。

实验设计（Experimental Design）：一种科学方法，通过合理地选择实验条件和受试者来最大限度地提高实验的效度和效率。

相关（Correlation）：描述两个变量之间关系的强度和方向的统计量。相关系数介于-1和1之间，表示两个变量之间的线性关系。

因果关系（Causal Relationship）：一个事件或因素的变化导致另一个事件或因素的变化的关系。在统计学中，确定因果关系是一个重要的挑战和研究领域。

时间序列分析（Time Series Analysis）：一种统计方法，用于预测一个变量的未来值，该变量具有时间顺序特性，即观察值随着时间的推移而变化。

五组合数学

组合计数：研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。

组合设计：研究在给定距离和点集的条件下，如何安排点与点之间的连接方式，使得连接方式的数量达到最大。

组合矩阵：用于描述组合结构的一种矩阵形式。

组合优化：在给定一组对象中选择一定数量的对象，使得它们的总价值最大或满足某些特定的条件。

六图论

图论是数学的一个分支，研究图的性质和结构。以下是一些图论的重要概念及相应解释：

图（Graph）：由顶点（vertices）和边（edges）组成的数据结构。顶点可以代表事物或对象，边则表示这些事物或对象之间的连接或关系。

顶点（Vertex）：表示某个事物或对象。在图论中，顶点也被称为节点或点。

边（Edge）：表示两个顶点之间的连接或关系。边可以是无向的（表示两个顶点之间的双向连接）或有向的（表示两个顶点之间的单向连接）。

有向图（Directed Graph）：边是有方向的图。

无向图（Undirected Graph）：边是无方向的图。

权重（Weight）：每条边都有一个预定义的权重，表示连接的强度或距离。

路径（Path）：在图中，从一个顶点到另一个顶点的路径是指一系列连续的边，每个边的终点是下一个边的起点。路径的长度是路径上边的数量。

最短路径（Shortest Path）：在图中，从一个顶点到另一个顶点的最短路径是指路径长度最短的路径。

连通图（Connected Graph）：在图中，任意两个顶点之间都存在路径的图称为连通图。

非连通图（Non-Connected Graph）：在图中，存在至少两个不连通的子图的图称为非连通图。

度数（Degree）：顶点的度数是指与该顶点连接的边的数量。

入度（In-Degree）：指向某个顶点的边的数量称为该顶点的入度。

出度（Out-Degree）：从某个顶点出发的边的数量称为该顶点的出度。

二分图（Bipartite Graph）：如果图的顶点可以被分割为两个互不相交的子集，并且每条边都关联这两个子集中的顶点，那么这个图就称为二分图。

子图（Subgraph）：一个图的子图是由原图的一部分顶点和相应的边构成的图。

同构图（Isomorphic Graphs）：如果两个图的顶点和边可以建立一一对应的关系，使得每一条边的权重和每一个顶点的度数都相同，那么这两个图就称为同构图。

邻接矩阵（Adjacency Matrix）：表示图的一种方法，其中矩阵的行和列对应于图的顶点，而矩阵的元素表示相应的两个顶点之间是否有边或边的权重。

度矩阵（Degree Matrix）：一个方阵，其中对角线上的元素是相应顶点的度数，非对角线上的元素为零。

拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）：一个方阵，其中对角线上的元素是相应顶点的度数减一，非对角线上的元素是相应两个顶点之间的边的权重，如果没有边则该元素为零。

欧拉路径（Eulerian Path）：在一个图的欧拉路径中，所有顶点都必须被访问一次且仅一次。

欧拉回路（Eulerian Cycle）：在一个图的欧拉回路中，所有顶点和边都必须被访问一次且仅一次。

哈密尔顿回路（Hamiltonian Cycle）：在一个图中，哈密尔顿回路是指访问所有顶点一次且仅一次并回到起始点的路径。

二分图最大匹配（Maximum Bipartite Matching）：在二分图中找到最大的匹配数量，即找到最多可以连接的没有公共顶点的边。

最大流问题（Maximum Flow Problem）：在一个有向图中找到从一个源点到另一个汇点的最大流量，即在图中找到可以通过的最大的流量。

七解析几何

圆锥曲线：圆锥曲线是平面上一条动直线绕一定直线旋转一周，与平面内一定点及其远处定点的距离的比是常数e（即离心率，范围是0<e<1）所形成的曲线，包括圆、椭圆、抛物线、双曲线等。

参数方程：参数方程是一种描述曲线的方法，通过引入参数来表示曲线上点的坐标。

极坐标：极坐标是一种描述点和直线的几何方法，通过角度和距离来描述点的位置。

仿射几何：仿射几何是一种研究在仿射变换下不变的几何性质的几何学分支。

仿射变换（Affine Transform）是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵和一个向量给出。

八实变函数

九复变函数

复变函数：以复数作为自变量和因变量的函数。

复平面：用于表示复数的平面，其中实轴表示实数，虚轴表示虚数。

零点：函数在某点处的值为零。

极点：函数在某点处的左右极限存在但不相等。

留数：在无穷远处的极限值，用于计算某些复数函数的积分。

全纯函数：复变函数的导数在整个复平面上处处存在。

共轭函数：复变函数的共轭复数。

解析函数：全纯函数的实部和虚部也是全纯函数。是一个能展开为幂级数的复函数，通常在复平面的全纯函数中寻找。解析函数的一些重要性质包括：柯西积分公式、柯西-黎曼方程、唯一性定理和魏尔斯特拉斯定理等。这些性质在复变函数理论中有重要的地位，并被广泛应用于物理、工程和其他科学领域。

唯一性定理：复变函数的解在无穷远处唯一确定。

柯西积分公式：用于计算复平面上某个简单闭曲线内部的积分。

最大模原理：如果一个全纯函数在某一点处的导数不为零，那么它在该点处的模是最大的。

魏尔斯特拉斯定理：如果一个全纯函数在某一点处连续，那么它在该点处解析。

解析延拓：通过解析延拓，可以将一个在某个区域解析的函数扩展到更大的区域上。

单连通域与多连通域：根据复平面上的区域进行分类，如果区域中任何简单闭曲线的内区域中每一点都属于该区域，则称为单连通域，否则称为多连通域。

柯西积分公式：用于计算复平面上某个简单闭曲线内部的积分，与曲线内部的点有关。

共轭函数：复变函数的共轭复数。

泰勒级数：将复变函数在某一点处展开为无穷级数的形式，其中包含该点的各阶导数值。

洛朗兹级数：将解析函数在无穷远处展开为无穷级数的形式。

十抽象代数

群（Group）：群是一个由集合以及其上的一个二元运算所组成的系统。二元运算指的是集合中的元素之间的运算。

环（Ring）：环是一个由集合以及其上的两个二元运算所组成的系统，这两个二元运算是加法和乘法。

域（Field）：域是一个由集合以及其上的两个二元运算所组成的系统，这两个二元运算是加法和乘法，同时域中的乘法有逆元。

向量空间（Vector Space）：向量空间是一个由集合以及其上的加法和标量乘法所组成的系统。

模（Module）：一个模是一个代数结构，包含一个集合和两个代数运算（加法和乘法），其中加法满足交换律和结合律，乘法满足结合律。模的元素包括零元和单位元，加法和乘法都有逆运算。

理想（Ideal）：在环或模中，一个理想是一个加法或乘法封闭的子集，满足一定的性质。

同态（Homomorphism）：在抽象代数的不同结构之间（例如群、环、模等），同态是一个保持结构的映射。同态可以用于研究原结构和目标结构之间的相似性。

同构（Isomorphism）：在抽象代数的不同结构之间，同构是一个双射同态，它建立了原结构和目标结构之间的双射关系。同构表示这两个结构在某种程度上是等价的。

多项式环（Polynomial Ring）：在环论中，多项式环是一个包含一组元素和一组变量的代数结构，可以对其进行多项式运算。

伽罗瓦理论（Galois Theory）：伽罗瓦理论是一个将域和群联系起来的理论，用于研究域中的方程求解问题。伽罗瓦理论的主要结果是伽罗瓦定理，它证明了域上的方程可以用根式求解当且仅当该方程对应的群是可解群。

线性代数（Linear Algebra）：线性代数是研究线性方程组、向量空间、矩阵等问题的数学分支。线性代数中的主要概念包括矩阵、行列式、向量、线性变换等。

李群（Lie Group）：李群是一个连续群，它的元素可以以连续的方式从一个群元素变换到另一个群元素。李群在几何学和物理学中有广泛的应用。

十一拓扑学

拓扑空间：由一个集合和一组满足特定条件的开集组成的数学结构。这些条件包括：空集和全集都是开集，有限个开集的交集仍然是开集，任意多个开集的并集仍然是开集。拓扑空间是拓扑学研究的基本对象。

连通性：拓扑空间是否能够被分割为两个非空的不相交的开集，这两个开集的并集等于整个空间。如果一个拓扑空间不能被分割成两个非空的不相交的开集，那么它就是连通的。例如，实数线就是连通的，而实数线上的有限区间[0, 1]不是连通的。

基：拓扑空间的一组基本开集，它们可以生成整个空间。基中的每个元素都被称为一个开覆盖。

紧致性：拓扑空间是否在任意一个无限逼近的条件下能够被有限个开集所覆盖。例如，有限区间[0, 1]是紧致的，而实数线不是紧致的。

分离性：拓扑空间中的两个点是否能够被两个不交的开集所分离。T0、T1和T2分离性是分离性的不同等级。

道路连通性：如果拓扑空间中的任何两点都可以通过一条连续的路径相互到达，那么这个空间就是道路连通的。

基本群：在同胚（同构）的意义下，一个拓扑空间的局部性质可以用基本群来描述。

同胚：如果存在一个从拓扑空间X到拓扑空间Y的连续映射f，并且f有一个连续的逆映射g，那么我们就说X和Y是同胚的。

同构：如果存在一个从拓扑空间X到拓扑空间Y的双射映射f，并且f和它的逆映射都是连续的，那么我们就说X和Y是同构的。

拓扑不变量：拓扑不变量的基本思想是，如果两个拓扑空间在细节上有所不同（即它们的同胚或者同构关系不同），那么它们的基本几何性质也会有所不同。