抛物线：2017年全国卷A题10

已知 $F$ 为抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点，过 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_1,l_2$ ，直线 $l_1$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，直线 $l_2$ 与 $C$ 交于 $D,E$ 两点，则 $|AB|＋|DE|$ 的最小值为

$A.16 \qquad B.14 \qquad C.12 \qquad D.10$

【解答】

$C:y^2=4x \Rightarrow 2p=4 ,\; p=2$

注意两条弦都是焦点弦，弦长可以用极坐标方法求出。

记 $AB,DE$ 的倾角为 $\alpha, \beta$

$AB \perp DE \Rightarrow \sin^2\alpha = \cos^2\beta, \cos^2\alpha = \sin^2\beta$

$|AB|=\dfrac{2p}{\sin^2\alpha}$

$|DE|=\dfrac{2p}{\sin^2\beta}=\dfrac{2p}{\cos^2\alpha}$

$|AB|+|DE|=\dfrac{2p}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}=\dfrac{8p}{sin^2 2\alpha}$

当 $\alpha=\dfrac{\pi}{4}, \sin^2 2\alpha=1, |AB|+|DE|$ 取得最小值： $8p=16$ .

结论：选项A正确。

【提炼与提高】

用极坐标方程求焦点弦的弦长，是一种高效率的方法。

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