抛物线：2018年全国卷A题10

抛物线：2018年全国卷A题10

设抛物线 C:y^2=4x 的焦点为 F，过点 (-2,0) 且斜率为 \dfrac{2}{3}的直线与 C 交于 M,N 两点，则 \overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=

A.5 \qquad B.6 \qquad C.7 \qquad D.8

【解答】

y^2=4x \Rightarrow 2p=4,\;p=2,\;\dfrac{p}{2}=1

焦点坐标为：F(1,0)

\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=(x_{_M}-1)(x_{_N}-1)+y_{_M} y_{_N}

过点 (-2,0) 且斜率为 \dfrac{2}{3}的直线方程为：y=\dfrac{2}{3}(x+2) 或 x=-2+\dfrac{3}{2}y

代入抛物线方程可得：y^2-6y+8=0

y_1+y_2=6, y_1 \cdot y2=8

\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=(x_1-1)(x_2-1)+y_1 y_2

=x_1 x_2 -(x_1+x_2) + y_1 y_2

=\dfrac{1}{4}(y_1 y_2)^2 - \dfrac{1}{4} (y^2_1+y^2_2 + y_1 y_2)

=7

结论：选项C正确。

【提炼与提高】

用韦达定理解决这类问题，是解析几何的常规操作。

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