作者：Butts，原文地址：https://www.kylebutts.com/blog/factor-model/
译者：许文立，CIMERS/IMIM，xuweny87@hotmail.com.
注：并不是完全按照原文翻译，有一些译者自己的理解和注释，并增加了一些相关的知识介绍。
当我第一次看到合成控制法时，我真的很难理解它什么时候有效，什么时候无效。当然，你需要很多处理前时期。但还需要什么呢？"较好的处理前拟合程度"。如果我在思考一个研究问题，我如何判断是否能事先获得较好å的处理前拟合程度呢？当然，通过观察结果来判断并不是一个好主意（请参考Roth(2022,AER:Insights)）。
我是在一个完全不同的环境中偶然发现因子模型的。但是，在我学会了这个模型之后，我开始在有关合成控制的论文中一次又一次地看到它的出现。它们对我的理解产生了巨大的影响，因此我想与大家分享我的心得。
首先，我将与大家分享什么是因子模型，然后再回过头来谈谈它与合成控制的联系。作为一个重要的免责声明：合成控制估计量在各种数据生成过程中都是一致的。然而，因子模型是一个主要案例，在教学上非常有用。
一、因子模型
最简单的因子模型可以表示如下：
其中，是
的不可观测“因子”向量，
是
的不可观测“因子载荷”向量。注意，这两者看起来像时间固定效应和个体固定效应，不过是以交互项的形式出现。
我们可以将因子理解成宏观经济冲击（注：也就是对所有地区，所有行业，所有个体都产生影响的冲击），而
是个体暴露于冲击的程度（注：例如，有些行业受到宏观经济冲击较小，而有些行业影响较大）。二者乘积描述的是个体如何受到宏观经济冲击的影响。例如，考虑y是GDP。因子载荷
是一个地区制造业就业份额。而因子
可能是对所有制造业就业的国家层面的共同冲击（例如，对国家经济的进口竞争或其他变化，Aurto et al，2013）。两项的乘积表示国家层面冲击对一个地区GDP的效应。
另一种理解是表示时间不变的特征，而其对结果的效应
随时间变化。例如，y是工资，因子载荷
是工人的教育，因子
可能是对教育回报的国家层面共同冲击。两者乘积比哦啊是国家冲击对一个工人工资的影响（注，最近的研究生扩招对教育-工资溢价的影响）。
上述例子仅仅只是因子模型的一些例子而已，它的真实能力其实在于我们不需要测度和
来控制两类因素。就像个体和时间固定效应一样，我们可以思考它们是重要的混淆因子因子，但我们实际上并不用测度它们。
注意，TWFE实际上是因子模型的一种特例。我们取和
。然后，模型变成
。然后，因子模型允许个体有差异化的趋势（主要是因为不同个体暴露在共同冲击中的程度不同）。
因为因子模型也包含了TWFE，那么，我们为什么不在DID中仅仅使用因子模型？最大的问题在于，使用因子模型需要长面板（长时期）来估计因子和因子载荷。而我们使用DID的大部分情形都是较短的时期（短面板）。
二、合成控制法
合成控制法的基本思想：识别出能较好地近似处理前时期处理个体结果的控制组。合成控制估计量加权这些控制组。Ababie等指出，当结果模型是因子模型的时候，当处理前时期非常大，合成控制估计量的偏误会趋向于0（需要注意的是，在其它DGP下，合成控制估计量也是一致的）。
在因子模型下，处理个体的未处理潜在结果的合成控制估计量事控制组结果的加权平均，其中，
是合成控制算法得到最优权重。我们将
作为处理个体。忽略掉误差项，我们可以写出下式：
最后一项显示：合成控制个体的结果受到相同因子的影响，且因子载荷是控制组个体因子载荷的加权平均值。
那么，合成控制组什么时候是有效的？从上式可以明确地看出，当合成控制个体的因子载荷看出来与处理个体的因子载荷尽可能的相近时（）。也就是说，处理组和挑选出的控制组受到国家层面的共同冲击相近时，合成控制法才比较适用。如果满足这个条件，我们预测的反事实结果才比较好。直觉上来说，合成控制个体和处理个体受到相同的因子冲击影响，且暴露在冲击中的程度相同才行。
我发现这种解释非常有用。作为一名研究人员，我可以事先开始考虑这些条件。首先，我会考虑在我的研究环境中很重要的因素（例如，在 GDP 的例子中，我认为一个重要的混杂冲击可能是产业随时间变化的冲击）。其次，我会考虑所处理的个体的因子载荷（例如其产业组合）是否可以很好地近似于备选控制组。在上述的例子中，如果我所处理的地区在其产业组合方面是一个异常值，那么合成控制法就会失效。
我不确定我是否在任何地方看到过这样的建议，但我认为计算重要特征的加权平均值是一个很好的检验方法，你认为这些重要特征可能会混淆处理选择（由基准协变量X替代），看看合成控制加权值是否接近处理个体加权， 。
最后一个联系是关于长面板对估计合成控制的重要性。在上述工作中，请注意我忽略了误差项。这是因为，在长面板中，误差项为零。但在短面板中却不是这样，因为合成控制过程最终会与噪声匹配，而不是与因子载荷匹配，这使得 。
三、合成控制论文中的因子模型
下面，我们来看看合成控制文献中，因子模型多么常见。
- 1、Ferman and Pinto（2021，QE）:"Synthetic Control with Imperfect Pre-Treatment Fit"
这篇文章研究了当处理前拟合不完美时会出现什么情况，并提出了一个新的因子模型估计量。
We consider the properties of the SC and related
estimators, in a linear factor model setting, when the
pre-treatment fit is imperfect. We show that, in this
framework, the SC estimator is generally biased if
treatment assignment is correlated with the
unobserved heterogeneity, and that such bias does
not converge to zero even when the number of pre-
treatment periods is large.
- 2、 Gobillon and Magnac（2016，REStat）："Regional Policy Evaluation: Interactive Fixed Effects and Synthetic Controls"和 Xu(2017,PA): "Generalized Synthetic Control Method"
这两篇文章都提出用插补法（imputation）的处理效应估计量，直接估计因子载荷和因子。这种方法比较接近于BJS（2023）和Gardner(2021)。
-3、Ben-Michael, Feller, and Rothstein(2021,JASA):"The Augmented Synthetic Control Method"
Considers how to use regularization on the weights
to prevent over-fitting in shorter panels. This helps
better approximate the true treated unit's factor-
loadings in a factor-model.
They impute untreated potential outcomes by
estimating a low-rank factor model using nuclear-
norm regularization to prevent over-fitting.
四、短面板
上面提到的论文都依赖于长面板，才能恰当识别出因子结构。Butts与他的合作者研究了短面板中也保持合成控制法有效的估计量。
他们的研究表明，只要有多个处理个体，处理效应估计量仅仅要求因子的一致估计，而不要求
的估计。例如，IV（准长差分quasi-long differencing）估计出
的一致估计量，或者用相同因子结构（共同相关效应CCE，参见Kyle Butts and Nicholas Brown（2023)）
所影响的协变量估计出的一致估计量。这两种方法都可以得到事件研究图。参见 Kyle Butts and Nicholas Brown（2023):Generalized Imputation Estimators for Factor Models
