四面体：2017年理数全国卷C题19

四面体：2017年理数全国卷C题19 （12 分）

如图，四面体 $ABCD$ 中， $\triangle ABC$ 是正三角形， $\triangle ACD$ 是直角三角形， $\angle ABD=\angle CBD, AB=BD.$

（1）证明∶平面 $ACD \perp$ 平面 $ABC$ ;

（2）过 $AC$ 的平面交 $BD$ 于点 $E$ ，若平面 $AEC$ 把四面体 $ABCD$ 分成体积相等的两部分，求二面角 $D-AE-C$ 的余弦值.

2017年理科数学全国卷C

【解答问题1】

作 $AC$ 中点 $M$ , 并连接 $MD, MB$ .

因为 $\triangle ABC$ 是正三角形， $AB=BD$ , 所以 $AB=BD=BC$ ,

又因为 $\angle ABD=\angle CBD$ , 所以 $\triangle ABD \cong \triangle CBD, DA=DC$

所以 $\triangle ACD$ 是等腰直角三角形，所以 $DM=MA=MC$

又因为点 $M$ 是 $AC$ 中点，所以 $DM \perp AC, BM \perp AC$ （三线合一）

所以 $\angle DMB$ 是二面角 $D-AC-B$ 的平面角.

因为 $DM=MA, AB=BD, MB=MB$ , 所以 $\triangle DMB \cong \triangle AMB$ , 所以 $\angle DMB = \angle AMB=90°$

所以平面 $ACD \perp$ 平面 $ABC$ . 证明完毕.

【解答问题2】

连接 $ME$ , 记 $ME$ 中点为 $N$ , 并连接 $DN$ .

因为 $V_{A-ECD} = V_{A-ECB}$ , 所以 $S_{ECD}=S_{ECB}, ED=EB$ .

又因为 $\angle DMB = 90°$ , 所以 $EM=ED=EB$

根据前节结论可知： $\triangle DMB \cong \triangle AMB$ , $\angle BDM=60°$ , 而 $EM=ED$ , 所以 $\triangle EMD$ 是正三角形，

又因为点 $N$ 是 $ME$ 中点，所以 $DN \perp ME$

根据前节结论， $AC \perp MD, AC \perp MB$ , 所以 $AC \perp$ 平面 $MDB$ , 所以 $AC \perp DN$

因为 $AC \perp DN, DN \perp ME$ , 所以 $DN \perp$ 平面 $ACE$ , $\triangle NAE$ 是 $\triangle DAE$ 在平面 $ACE$ 内的投影.

令 $MA=1$ , 则 $AE=AD=\sqrt{2}$ , $DE=MD=ME=1$

$S_{\triangle ADE} = \dfrac {\sqrt{7}}{4}$

$S_{\triangle NAE}= \dfrac {1}{2} S_{\triangle MAE} = \dfrac {1}{4}$

二面角 $D-AE-C$ 的余弦值 $= \dfrac {S_{\triangle NAE}} {S_{\triangle ADE}} = \dfrac {\sqrt{7}}{7}$

最后编辑于：2021.11.02 08:45:30

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