第十二章：图

1.图的基本概念：

图的结构很简单，就是由顶点 V V V 集和边 E E E 集构成，因此图可以表示成 G = ( V , E ) G=(V, E) G=(V,E) 。


1.1图的常用概念：

  1. 顶点(vertex)
  2. 边(edge)
  3. 路径
  4. 无向图(右图
  5. 有向图
  6. 带权图

1.2 图的表示方式

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

1.2.1 邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n 个顶点的图而言，矩阵是的row 和col 表示的是1....n个点。


1.2.2 邻接表

  1. 邻接矩阵需要为每个顶点都分配n 个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.

  2. 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成


1.3 图遍历介绍

所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略: (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍历

1.3.1深度优先遍历：

1.图的深度优先搜索(Depth First Search) 。
(1) 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
(2) 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
(3) 显然，深度优先搜索是一个递归的过程

2.深度优先遍历算法步骤：
(1) 访问初始结点v，输出并标记结点v 为已访问。
(2) 遍历v结点的所有邻接结点，并添加到队列里
(3) 通过队列获取结点v 的第一个邻接结点w。
(4) 若w 存在，且若w 未被访问，对w 进行深度优先遍历递归（即把w 当做另一个v，然后进行步骤123）。
(5)若w 存在，且w 已被访问，查找结点v 的w 邻接结点的下一个邻接结点并赋给w，转到步骤4。
(6)如果w 不存在，则回到第1 步，将从v 的下一个结点继续。

1.3.2 深度优先代码实现

from collections import deque
class Graph():
    def __init__(self,n):
        self.vertexlist = []
        self.edges = [[ 0 for i in range(n)]for i in range(n)]
        self.numOfEdges = n
        self.isVisited = [0 for i in range(n)]
        self.flag = 1
        
    def insertVertex(self,name):
        self.vertexlist.append(name)

    def insertEdge(self,e1,e2,weight):
        self.edges[e1][e2] = weight
        self.edges[e2][e1] = weight
        self.numOfEdges += 1

    def showGraph(self):
        for i in range(len(self.vertexlist)):
            print(self.edges[i])
    
    #获得w 未被遍历的邻接结点
    def getneighbors(self,w,neighbordeque):
        self.pos = self.getpos(w)
        for i in range(len(self.vertexlist)): 
            if self.edges[self.pos][i] == 1 and self.isVisited[i] == 0:
                neighbordeque.append(self.vertexlist[i])
        return neighbordeque
    #获得w virtexlist 中的位置
    def getpos(self,w):
        for i in range(len(self.vertexlist)):
            if self.vertexlist[i] == str(w) :
                return i 
            elif i == len(self.vertexlist):
                return None

    def DFS(self,w):
            #输出w并标记为已遍历
            neighbordeque = deque()
            print("DFS",w)
            self.startpos = self.getpos(w)
            self.isVisited[self.startpos] = self.flag
            self.flag += 1
            neighbordeque = self.getneighbors(w,neighbordeque)      
            #当未所有结点全都遍历时   
            while self.isVisited.count(0) != 0:
                #如果有邻接结点：
                if len(neighbordeque) != 0:
                    self.firstneighbor = neighbordeque.popleft()
                    self.firstpos = self.getpos(self.firstneighbor)
                    if  self.isVisited[self.firstpos] == 0:
                            self.DFS(self.firstneighbor)
                #如果没有邻接结点，就找w的下一个邻接结点，因为我们已经将w所有的邻接结点都放到 neighbordeque ,因此继续popleft它即可
                else:
                    return
            
graph = Graph(7)
vertexlist = ['0','1','2','3','4','5','6']
for i in vertexlist:
    graph.insertVertex(i)
graph.insertEdge(0,1,1)
graph.insertEdge(0,2,1)
graph.insertEdge(0,6,1)
graph.insertEdge(0,5,1)
graph.insertEdge(3,4,1)
graph.insertEdge(3,5,1)
graph.insertEdge(4,5,1)
graph.insertEdge(4,6,1)
graph.showGraph()
graph.DFS('0')
print(graph.isVisited)

1.3.3 图的广度优先遍历

  1. 广度优先遍历基本思想:
    (1) 图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
    (2) 类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点
  2. 广度优先遍历算法步骤
    (1) 访问初始结点v 并标记结点v 为已访问。
    (2) 结点v 入队列
    (3) 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
    (4) 出队列，取得队头结点u。
    (5) 查找结点u 的第一个邻接结点w。
    (6) 若结点u 的邻接结点w 不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
    6.1 若结点w 尚未被访问，则访问结点w 并标记为已访问。
    6.2 结点w 入队列
    6.3 查找结点u 的继w 邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。

1.3.4 广度优先代码实现

from queue import Queue
class Graph():
    #需要传入顶点个树n
    def __init__(self,n):
        self.numOfVertex = n
        self.neighborList = [[ ]for i in range(n)]
        self.numOfEdges = 0
    def insertEdge(self,e1,e2):
        self.neighborList[e1].append(e2)
        self.neighborList[e2].append(e1)
        self.numOfEdges += 1
    def showGraph(self):
        for i in range(self.numOfVertex):        
            print(self.neighborList[i])
    #返回v的所有临接定点
    def neighborVertex(self,v):
        return self.neighborList[v]
    #获取边的数目
    def getEdges(self):
        return self.numOfEdges
    #获取顶点的数目
    def getVertex(self):
        return self.numOfVertex
class DepthFirstSearch():
    #需要把图传进来
    def __init__(self,graph):
        self.graph = graph
        self.isVisited = [0 for i in range(self.graph.getVertex())]
        self.count = 0
    #深度遍历
    def dfs(self,w):
        print(w)
        self.isVisited[w] = 1
        for i in self.graph.neighborVertex(w):
            if self.isVisited[i] != 1:
                self.dfs(i)
        self.count = self.count + 1
        return self.count
class BreadthFirstSearch():
    #需要把图传进来
    def __init__(self,graph):
        self.graph = graph
        self.isVisited = [0 for i in range(100)]
        self.count = 0 
        self.waitSearch = Queue(maxsize=0)
    #广度遍历
    def bfs(self,v):
        self.isVisited[v] = 1
        self.waitSearch.put(v)
        #队列不为空，注意这里不要用递归，否则成了深度遍历，只用while循环依靠队列就可以实现广度遍历
        #将v添加到waitSearch里
        while self.waitSearch.qsize() != 0:
            #获取waitSearch第一个值，通过这个值去遍历所有的邻接结点，然后放到waitSearch里并标记已遍历，然后遍历完一个结点，就在waitSearch里再拿一个出来遍历
            #最后整个waitSearch遍历完就是整个广度优先遍历跑完了
            self.waitsearchnum = self.waitSearch.get()
            print(self.waitsearchnum)
            for i in self.graph.neighborVertex(self.waitsearchnum):
                if (self.isVisited[i] != 1):
                    self.waitSearch.put(i)
                    self.isVisited[i]=1
            self.count += 1 
        return self.count
    def showisVisited(self,v):
        return self.isVisited[v]

graph = Graph(7)
graph.insertEdge(0,1)
graph.insertEdge(0,2)
graph.insertEdge(0,6)
graph.insertEdge(0,5)
graph.insertEdge(3,4)
graph.insertEdge(3,5)
graph.insertEdge(4,5)
graph.insertEdge(4,6)
graph.showGraph()
print("--------------------------------深度优先")
depthFS = DepthFirstSearch(graph)
print(depthFS.dfs(0))
print("--------------------------------广度优先")
breadthFS = BreadthFirstSearch(graph)
print(breadthFS.bfs(0))
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