今天看到知乎文章《学习数学时，什么时候应该停止考虑几何意义？》

       学习数学时要不要考虑意义，是个好问题。

        我的答案是：不是每个人都有必要停止考虑意义，但我本人会尝试无休止的剥离意义。

        任何意义均有其形式，而形式不必具有意义。

       有些时候，我们可以对某个形式赋予意义，甚至对某个理论中的每个形式都赋予意义。此时我们可以完整的把该数学理论从形式的层面拉到意义的层面去思考。

        例如：计算积分∫_[0，1]xdx。答：为x指派一个意义：速度，为∫指派一个意义：求路程，在运动学意义下，我们用运动学公式，可以得积分是1/2。

        几何意义、概率意义、物理意义、组合意义，均是对形式的赋意。是什么让我们感觉，一个有了几何意义的式子，比单纯的形式化的式子更好理解的？是我们对空间规则的熟悉。一个有了物理意义的方程，真的比纯数学上的方程更方便理解吗？这种方便是源于我们的感官建立的对现实世界物理过程的熟悉。从意义的层面理解数学事物，归根结底是斥诸于熟悉，如果严厉地讲，是一种认识层次的降格和倒退。

       追求意义在认识层面上是一种还原，但是在实践层面仍然有益。什么是一个有益的意义？如果赋予意义能帮助我们找到一个在形式化层面上无法找到的操作，那么这就是一个好的意义。ε-δ语言中，对点集的直观想象可以带来一些这方面启发，我们多数时候做的事情是把数轴上的几何直观翻译成ε-δ语言。换句话说，如果把所有形式都赋予意义，能使得我们在意义的层面上，对问题做出新的推进，那么这就是一个好的意义。意义的启发性是有尽头的，因为显而易见人类在生活中能接触到的意义只有寥寥几样，而数学自由地创造了如此多的形式，并不能预期每一个形式都有对应的意义。

        更多时候，某套理论中只有部分形式可以良好的赋予意义。比如热方程有物理意义，热方程的解有物理意义，但求解方程过程中的每一步数学变换未必有物理意义。开集的概念固然可以赋予”邻近“的意义，但拓扑空间公理中有限交、任意并的要求作何解释？难道要说”有限多个邻近区域的公共区域还是邻近区域？”使用邻近这个意义并没有使得拓扑空间要求有限交封闭这一条公理变得更加自然。虽然整句话的每个词都变成了直观且有生活意义的词，但整句话的含义仍然未得到自然的理解。这样的直观，与把开集随便指定一个意义，比如榨汁机的风扇转速，没有任何区别，因为对象在参与后续复杂行为中，所谓的意义不能找到对应物，这些意义也不能更先验和自然的指导我们理解对象如何进行复杂行为。这已经充分说明，在意义的层面理解事物，是不完备的。而且存在无益的意义。

        凡可以在意义的层面推演的，均可以把意义抽象为形式，在形式的层面推演。上述论断的正确性是世界上最自明的事之一。如果世界只允许一个行为，这个行为必须是抽象。但我在此不做展开。总之形式才是完备的理解事物的层面。

        一套理论存在意义固然好，但即便没有也没关系，因为我完全有能力在纯形式的层面操作数学对象，从纯形式的层面分析数学对象行为的动力。

        一个不易被别人察觉的、我个人的理念是：如果在物理意义\概率意义\任何什么意义上，一个操作有着无可辩驳的自然性，那么把这个操作还原成其形式，该操作在形式上也必然具有无可辩驳的自然性，如果你竟然不能理解该操作的形式，或者不能意识到其自然性，那么就请像机器学习一般把他加入数据集。一定时间后会发现，有效的操作很少，有效的操作均是因对象的定义而被允许的，因而是自然的。意义自然自然形式自然。意义不自然形式仍可能自然。 追求形式自然是我最本真的创新动力，但更根本上讲，形式上的自然性是数学现象本身之所以发生的动力。我的所谓创新能系统地发生，只不过是我顺应了数学对象本身的行为原理。

       去追求在更抽象的层面也建立意义，让一个范畴、一个集合变得和一个苹果、一个汽车一样自然，那么才真正理解到了数学这一现象是如何发生的。更抽象的讲，一个存在必经历一种发生过程——一个存在就是一种现象，一种现象就可以讨论其发生。我是在用发生的观点看数学存在。我在努力捕捉数学存在在发生层面的自然性。我不知道这是否已经来到了某种比入门更入一点门的形而上学。