高等代数理论基础11：多元多项式

多元多项式

单项式

定义：形式为 $ax_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}$ 的式子称为一个单项式

其中, $a\in 数域P$ , $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是n个文字, $k_1,k_2,\cdots,k_n\in N$

$k_1+k_2+\cdots+k_n$ 称为单项式的次数

n元多项式

定义：一些单项式的和 $\sum\limits_{k_1,k_2,\cdots,k_n}a_{k_1k_2\cdots k_n}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}$ 称为n元多项式,简称多项式

多项式的次数：系数不为零的单项式的最高次数称为该多项式的次数

字典排列法

每一类单项式都一一对应一个n元数组 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)$ ,其中 $k_i\in N$

单项式的先后顺序可以利用n元数组的先后顺序确定

n元数组先后顺序

对于两个n元数组 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)$ , $(l_1,l_2,\cdots,l_n)$

若 $k_1-l_1,k_2-l_2,\cdots,k_n-l_n$ 中第一个不为零的数为正

即有 $i\le n$ ,使得

$k_1-l_1=0,\cdots,k_{i-1}-l_{i-1}=0,k_i-l_i\gt 0$

则称n元数组 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)$ 先于n元数组 $(l_1,l_2,\cdots,l_n)$

并记作 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)\gt (l_1,l_2,\cdots,l_n)$

注：

1.对于任意两个n元数组 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)$ , $(l_1,l_2,\cdots,l_n)$

以下三种关系中有且仅有一种成立

$(k_1,k_2,\cdots,k_n)\gt (l_1,l_2,\cdots,l_n)$

$(k_1,k_2,\cdots,k_n)=(l_1,l_2,\cdots,l_n)$

$(k_1,k_2,\cdots,k_n)\lt (l_1,l_2,\cdots,l_n)$

2.关系" $\gt$ "有传递性,即

若 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)\gt (l_1,l_2,\cdots,l_n)$

$(l_1,l_2,\cdots,l_n)\gt (m_1,m_2,\cdots,m_n)$

则 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)\gt (m_1,m_2,\cdots,m_n)$

可利用 $k_i-m_i=(k_i-l_i)+(l_i-m_1)$ 证明

首项

定义：按字典排列法写出来的第一个系数不为零的单项式称为多项式的首项

注：

1.首项不一定有最大次数

2.n=1时,字典排列法可归结为以前的降幂排法

定理：当 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\neq 0$ , $g(x_1,x_2,\cdots,x_n)\neq 0$ 时,乘积 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)g(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的首项为 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的首项与 $g(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的首项的乘积

证明：

$设f(x_1,x_2,\cdots,x_n)的首项为$

$ax_1^{p_1}x_2^{p_2}\cdots x_n^{p_n},a\neq 0$

$g(x_1,x_2,\cdots,x_n)的首项为$

$bx_1^{q_1}x_2^{q_2}\cdots x_n^{q_n}$

$要证abx_1^{p_1+q_1}x_2^{p_2+q_2}\cdots x_n^{p_n+q_n}为fg的首项$

$只需证(p_1+q_1,p_2+q_2,\cdots,p_n+q_n)$

$先于fg中其他单项式对应有序数组$

$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)g(x_1,x_2,\cdots,x_n)中$

$其他单项式对应有序数组为$

$(p_1+k_1,p_2+k_2,\cdots,p_n+k_n)$

$或(l_1+q_1,l_2+q_2,\cdots,l_n+q_n)$

$或(l_1+k_1,l_2+k_2,\cdots,l_n+k_n)$

$其中$

$(p_1,p_2,\cdots,p_n)\gt (l_1,l_2,\cdots,l_n)$

$(q_1,q_2,\cdots,q_n)\gt (k_1,k_2,\cdots,k_n)$

$显然$

$(p_1+q_1,p_2+q_2,\cdots,p_n+q_n)\gt (p_1+k_1,p_2+k_2,\cdots,p_n+k_n)$

$(p_1+q_1,p_2+q_2,\cdots,p_n+q_n)\gt (l_1+q_1,l_2+q_2,\cdots,l_n+q_n)$

$(l_1+q_1,l_2+q_2,\cdots,l_n+q_n)\gt (l_1+k_1,l_2+k_2,\cdots,l_n+k_n)$

$由传递性可得$
$(p_1+q_1,p_2+q_2,\cdots,p_n+q_n)\gt (l_1+k_1,l_2+k_2,\cdots,l_n+k_n)$

$即abx_1^{p_1+q_1}x_2^{p_2+q_2}\cdots x_n^{p_n+q_n}不可能与乘积中其他项同类相消$

$且先于其他所有项$

$\therefore 它是首项\qquad \mathcal{Q.E.D}$

推论：若 $f_i\neq 0,i=1,2,\cdots,m$ ,则 $f_1f_2\cdots f_m$ 的首项等于每个 $f_i$ 的首项的乘积

推论：若 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\neq 0$ , $g(x_1,x_2,\cdots,x_n)\neq 0$ ,则 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)g(x_1,x_2,\cdots,x_n)\neq 0$

齐次多项式

定义：多项式 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{k_1,k_2,\cdots,k_n}a_{k_1k_2\cdots k_n}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}$ ,若其中每个单项式都是m次的,则称 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 为m次齐次多项式

注：两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式,次数等于两个多项式的次数之和

齐次成分

任何一个m次多项式 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 都可以唯一地表示成 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=0}^m f_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)$

其中 $f_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 为i次齐次多项式, $f_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 称为 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的i次齐次成分

注：多元多项式乘积的次数等于因子次数的和

若 $g(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{j=0}^l g_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 为一个l次多项式

则乘积 $h(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)g(x_1,x_2,\cdots,x_n)$

的k次齐次成分 $h_k(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i+j=k}f_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)g_j(x_1,x_2,\cdots,x_n)$

特别地, $h(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的最高次齐次成分为

$h_{m+l}(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f_m(x_1,x_2,\cdots,x_n)g_l(x_1,x_2,\cdots,x_n)$

多元多项式函数

设 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{k_1,k_2,\cdots,k_n}a_{k_1k_2\cdots k_n}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}$

$c_1,c_2,\cdots,c_n$ 为数域P中的数

则称 $f(c_1,c_2,\cdots,c_n)=\sum\limits_{k_1,k_2,\cdots,k_n}a_{k_1k_2\cdots k_n}c_1^{k_1}c_2^{k_2}\cdots c_n^{k_n}$

为 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在 $x_1=c_1,x_2=c_2,\cdots,x_n=c_n$ 处的值

多项式环

定义：所有系数在数域P中的n元多项式的全体称为数域P上的n元多项式环,记作 $P[x_1,x_2,\cdots,x_n]$

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 215,723评论 6赞 498
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 92,003评论 3赞 391
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 161,512评论 0赞 351
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 57,825评论 1赞 290
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 66,874评论 6赞 388
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 50,841评论 1赞 295
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 39,812评论 3赞 416
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 38,582评论 0赞 271
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 45,033评论 1赞 308
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 37,309评论 2赞 331
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 39,450评论 1赞 345
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 35,158评论 5赞 341
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 40,789评论 3赞 325
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 31,409评论 0赞 21
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,609评论 1赞 268
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 47,440评论 2赞 368
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 44,357评论 2赞 352

高等代数理论基础11：多元多项式

高等代数理论基础11：多元多项式

多元多项式

单项式

同类项

n元多项式

字典排列法

n元数组先后顺序

首项

齐次多项式

齐次成分

多元多项式函数

多项式环

推荐阅读更多精彩内容