分析力学基本原理介绍7.5：劳斯算法

$\bullet$ 使用哈密顿体系对解决力学问题并不是特别方便，解 $2n$ 个一阶微分方程通常需要我们消去一些变量（比如动量），但在这个过程中难免又会回到解二阶微分方程的问题中去，所以大多时候，我们通常会选择使用拉格朗日体系而非哈密顿体系。

不过，对于存在循环坐标的系统，哈密顿体系就比拉格朗日体系存在更大的优势。

$\bullet$ 考虑一组广义坐标 $\left\{q_s\right\}$ ，其中 $q_n$ 是一个循环坐标。

我们如果使用拉格朗日函数： $\mathscr{L} = \mathscr{L}(q_1,...,q_{n-1};\dot{q}_1,...,\dot{q}_n;t)$

这时的拉式函数虽不显含 $q_n$ ，却仍然含有对应的广义速度 $\dot{q}_n$ 。所以即便是对于存在循环坐标的系统，使用拉格朗日函数仍然需要我们解决一个 $n$ 自由度问题。

相反，如果使用哈密顿体系，由于共轭于循环坐标的正则动量是一个常数（令其为 $\alpha$ ），哈密顿函数的依赖关系则为：

$\mathscr{H} = \mathscr{H}(q_1,...,q_{n-1};p_1,...,p_{n-1};\alpha;t)$

可见，对于存在循环坐标的系统，哈密顿函数仅含有 $n - 1$ 个坐标，而与循环坐标共轭的动量也由于守恒定理变成了一个常数：

$\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q}_n} = p_n = \alpha$

在计算过程中，我们便可将循环坐标完全忽略，守恒量 $\alpha$ 则可由初值确定。这样一来，整个计算过程将变得简单不少。

而循环坐标与时间的关系可根据下面积分得到：

$\mathscr{H} = p_n\dot{q}_n - \mathscr{L} = \alpha\dot{q}_n - \mathscr{L}$

$\implies q_n(t) = \int \frac{\partial \mathscr{H}} {\partial \alpha} dt$

$\bullet$ $19$ 世纪英国数学家爱德华·劳斯(Edward Routh)发明了一种算法，该算法将循环坐标下使用哈密顿函数的优势和非循环坐标下使用拉格朗日函数的优势结合在了一起。后人将其称为劳斯算法(Routh's procedure)。

劳斯算法最关键的步骤在于仅使用从基底 $q,\dot{q}$ 到基底 $q,p$ 关于循环坐标的勒让德变换。这样一来，得到的哈密顿函数就只会依赖共轭于循环坐标的正则动量，而剩下的非循环坐标以及对应的广义速度依然由拉格朗日函数控制，从而减轻计算量。

假设有一个自由度为 $n$ 的系统，广义坐标为 $q_1,q_2,...,q_n$ ，其中 $q_1,q_2,...,q_s$ （ $s\lt n$ ）为非循环坐标， $q_{s+1},q_{s+2},...,q_{n}$ 为循环坐标。根据上述算法，我们将得到一个新的函数：

$\mathscr{R}(q_1,...,q_n;\dot{q_1},...,\dot{q_s};p_{s+1},...,p_{n};t) = \sum_{i = s+1}^np_i\dot{q_i} - \mathscr{L}(q_1,...,q_n;\dot{q_1},...,\dot{q_n};t)$

$\implies \boxed{\mathscr{R}(q_1,...,q_n;\dot{q_1},...,\dot{q_s};p_{s+1},...,p_{n};t) = \mathscr{H}_{\text{cyc}}(p_{s+1},...,p_n;t) - \mathscr{L}_{\text{noncyc}}(q_1,...,q_s;\dot{q_1},...,\dot{q_s};t)}$

我们把这个函数称为劳斯函数(Routhian)，它由显含守恒动量的哈密顿函数和显含非循环坐标以及速度的拉格朗日函数组成。

$\bullet$ 劳斯函数作为拉式函数和哈密顿函数的杂交体，具有它们二者的性质。

对于非循环坐标（ $1 \le i \le s$ ），有：

$\frac{\partial \mathscr{R}}{\partial \dot{q_i}} = -\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}$ ； $\frac{\partial\mathscr{R}}{\partial q_i} = -\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}$

$\implies \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathscr{R}}{\partial \dot{q_i}}\right) = -\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}\right) = -\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i} = \frac{\partial\mathscr{R}}{\partial q_i}$

$\implies \boxed{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathscr{R}}{\partial \dot{q_i}}\right) = \frac{\partial \mathscr{R}}{\partial q_i}}$

劳斯函数满足拉格朗日方程。

对于循环坐标（ $s+1\le i \le n$ ），有：

$\frac{\partial\mathscr{R}}{\partial q_i} = -\dot{p_i} = 0$ ； $\frac{\partial\mathscr{R}}{\partial p_i} = \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_i} = \dot{q_i}$

可见，通过劳斯函数我们同样可以得到哈密顿方程。

（例）

我打算使用开普勒问题来作为例子说明。

$\bullet$ 考虑有心反比力场，势函数 $V(r) = -\frac{k}{r^n}$ 。使用平面极坐标 $(r,\theta)$ ，速度 $\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{l}}{dt} = \dot{r}\boldsymbol{\hat{r}} + r\dot{\theta}\boldsymbol{\hat{\theta}}$ 。

$\bullet$ 拉格朗日函数为：

$\mathscr{L} = \frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)+\frac{k}{r^n}$

很明显， $\theta$ 是循环坐标。

$\bullet$ 对拉格朗日函数进行仅关于循环坐标 $\theta$ 的勒让德变换：

$\mathscr{H}(p_{\theta}) = \frac{1}{2}(\mathbf{p}^{\rm{t}} - \mathbf{a}^{\rm{t}})\mathbf{T}^{-1}(\mathbf{p} - \mathbf{a}) - \mathscr{L}_0 = \frac{1}{2}\frac{p_{\theta}^2}{mr^2}$

其中 $\mathbf{T}^{-1} = \begin{bmatrix}1/(mr^2)&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$ ， $\mathbf{a} = \mathbf{0}$ ， $\mathscr{L}_0 = 0$ 。

$\bullet$ 得到劳斯函数：

$\begin{align*}\mathscr{R}(r,\dot{r},p_{\theta}) &= \mathscr{H}_{\text{cyc}}(p_{\theta}) - \mathscr{L}_{\text{noncyc}}(r,\dot{r})\\&= \frac{1}{2}\frac{p_{\theta}^2}{mr^2} - \frac{k}{r^n} - \frac{m}{2}\dot{r}^2\end{align*}$

注意：对于 $\mathscr{L}_{\text{noncyc}}(r,\dot{r})$ ，我们只考虑关于非循坏坐标的项。

前两项是我们熟悉的有效势能 $U_{\text{eff}}(r)$ ，在有心力场中的劳斯函数等价于一维有效势能减去微粒径向运动的动能。

$\bullet$ 对非循环坐标拉格朗日方程：

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr{R}}{\partial \dot{r}} - \frac{\partial\mathscr{R}}{\partial r} = 0$

$m\ddot{r} - \frac{p_{\theta}^2}{mr^3} + \frac{nk}{r^{n+1}} = 0$

这是微粒的运动方程，具体解法请参考开普勒问题。

$\bullet$ 对循环坐标使用哈密顿方程：

$\frac{\partial\mathscr{R}}{\partial \theta} = -\dot{p_{\theta}} = 0;\quad \frac{\partial\mathscr{R}}{\partial p_{\theta}} = \frac{p_{\theta}}{mr^2} = \dot{\theta}$

$\implies p_{\theta} = mr^2\dot{\theta} = \text{const.}$

很明显，守恒量是角动量。

最后编辑于：2020.02.25 16:56:06

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