抛物线：2014年全国卷B题10

设 $F$ 为抛物线 $C:y^2=3x$ 的焦点，过 $F$ 且倾斜角为 $30°$ 的直线交 $C$ 于 $A,B$ 两点， $O$ 为坐标原点，则 $\triangle OAB$ 的面积为

$(A)\dfrac{3\sqrt{3}}{4} \qquad (B)\dfrac{9\sqrt{3}}{8} \qquad (C)\dfrac{63}{32} \qquad (D)\dfrac{9}{4}$

【解答】

本题待求为三角形面积，可分解为两个子任务：1）求弦 $AB$ 的长度；2）求原点与弦 $AB$ 的距离。

$\rho = \dfrac{p}{1-\cos\theta} \Rightarrow |AB|=\dfrac{2p}{1-\cos^2\theta}=\dfrac{2p}{\sin^2\theta}$

$C:y^2=3x \Rightarrow 2p=3 ,\; p=\dfrac{3}{2} ,\; \dfrac{p}{2}=\dfrac{3}{4}$

代入数值可求出弦长： $|AB|=12$

用几何方法容易求出原点与弦 $AB$ 的距离为： $\dfrac{3}{4} \times \sin 30°=\dfrac{3}{8}$

$\triangle OAB$ 的面积为： $\dfrac{1}{2} \times 12 \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{4}$

结论：选项D正确。

【提炼与提高】

求圆锥曲线的弦长是解析几何的常考问题。其中，焦点弦的弦长可用极坐标方程求出。这是一种高效率的方法。

本题也可以用韦达定理在直角坐标系中求解。计算量略大。读者可以自行比较。

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