抛物线:2014年全国卷B题10

抛物线:2014年全国卷B题10

F 为抛物线 C:y^2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 CA,B 两点,O 为坐标原点,则 \triangle OAB 的面积为

(A)\dfrac{3\sqrt{3}}{4} \qquad (B)\dfrac{9\sqrt{3}}{8} \qquad (C)\dfrac{63}{32} \qquad (D)\dfrac{9}{4}



【解答】

本题待求为三角形面积,可分解为两个子任务:1)求弦 AB 的长度;2)求原点与弦 AB 的距离。

\rho = \dfrac{p}{1-\cos\theta} \Rightarrow |AB|=\dfrac{2p}{1-\cos^2\theta}=\dfrac{2p}{\sin^2\theta}

C:y^2=3x \Rightarrow 2p=3 ,\; p=\dfrac{3}{2} ,\; \dfrac{p}{2}=\dfrac{3}{4}

代入数值可求出弦长:|AB|=12

用几何方法容易求出原点与弦 AB 的距离为:\dfrac{3}{4} \times \sin 30°=\dfrac{3}{8}

\triangle OAB 的面积为:\dfrac{1}{2} \times 12 \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{4}

结论:选项D正确。

【提炼与提高】

求圆锥曲线的弦长是解析几何的常考问题。其中,焦点弦的弦长可用极坐标方程求出。这是一种高效率的方法。

本题也可以用韦达定理在直角坐标系中求解。计算量略大。读者可以自行比较。


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