最近找黎曼几何课的prof聊我在黎曼几何课上的想法

里面有一个组合的argument，R(XYZT)是个四元线性函数，且具有对称性：

(1)R(XYZT)=-R(YXZT)

(2)R(XYZT)=-R(XYTZ)，

(3)R(XYZT)+R(ZXYT)+R(YZX)=0，

由这些对称性，可以推出

(4)R(XYZT)=R(ZTXY)

这几个东西很明显模式不一样，最后一个对称性是用前几个对称性直接推出来的，而前几个对称性是用黎曼张量的定义写开验证的，换句话说黎曼张量的所有对称性是有生成元的，(1)(2)(3)生成了(4).

然而R(XYZT)=R(ZTXY)这个证明很tricky，需要对R(XYZT), R(TXYZ), R(ZTXY), R(YZTX)这四个符号每个都写下(3)这条对称性并加起来，一共12项，利用(1),(2)相消，这个方法一点也不系统。

我就想有没有不Tricky的办法，系统一点。

第一个观察是 R(XYZT)完全可以写成(XYZT)，是不是张量，是不是黎曼张量完全无关，只要合理的赋予(XYZT)符号一些些含义，使得其可以谈元素的置换、可以谈加减法就行了.所以合理的工作空间自然的是.

第二个观察是，对称性全部是关于R的线性方程的形式.从而我们更多的关注以多条对称性的等式加加减减得到新的对称性，新的对称性也仍然是线性方程。

令S4作用在所有四字符号张成的24维复线性空间上。

令e是S4的单位元，a=(12), b=(34), t=(132), 则对于任意元素,  (a+e)x代表对x作用后的(XYZT)，写下对称性(1).

类似地可以定义b+e, 1+t+t^2.

一个元素,如果在C[S_4]中能写成的形式，则A所对应的对称性等式，是能被(1)(2)(3)推出的.

于是一个新的对称性能否由已证实的对称性推出的问题，就归结为判断对称群的群环中的元素是否属于某个右理想的问题.

有限群在域上的群环是半单的，存在Weddernburn分解，这给计算机求解这类问题提供了工具。

符号计算方面的论文给出了求解代码

《IDEAL DECOMPOSITIONS AND COMPUTATION OF TENSOR NORMAL FORMS》

BERND FIEDLER

后记：

因为这是从黎曼张量生发出的问题，我自然的去找黎曼几何的prof，但是他好像不懂这种思维方式，并一定坚持写下R(XYZT)而不是(XYZT)，激烈强调R(XYZT)必须是张量，不能是什么符号，文字，这样的东西，直到最后的最后才问我S_4是什么。我一开始以为可以quotient掉(a+e)这个理想，用在商环中为0判断是否具有这一对称性。Prof指出，这个理想不是双边的...于是问题归结为元素是否属于右理想，这次很快就有ref了。

我去告诉他有人解决过这个问题，他还在说我这样formulate并没有simplify多少东西，因为黎曼张量本来就熟知有置换分解，比如分解为Ricci项+xxx项+xxx项。我就绷不住了，你眼里只有黎曼张量吗？我说的是任意阶张量的任意对称性如何推出其他对称性的问题，我说的是这个问题背后的结构，从来就不是黎曼张量这个区区4阶的例子，难道你要因为你工作的领域只有这一个例子，就认为这个例子背后的模式是不重要的吗？其实还真不能怪他。可能这样才正常吧。