取定局部坐标，切丛限制在流形的该局部，我们有二元运算。任何线性的二元运算，在固定一个位置，缺省一个位置的情况下缩并为一个线性空间自同态，称由二元运算缩并而来的自同态称为(关于这个二元运算的)内自同态。（这在李代数里是标准的术语，只不过那时不强调是关于Lie括号[ ]的内自同态）
点态的看，配备二元运算的线性空间(V，< >)的内自同态InnEnd构成代数，可以讨论其交换子。
交换子作为End中的元素，在基下有一个矩阵表示，
其中的定义为黎曼曲率张量，是一个四阶张量。
问题提出：
纵观整个过程，交换子[·，·]只是代数中的一种运算，如果构造一个包含更多内自同态的表达式，考虑他作为自同态的表示矩阵，可以得到更高阶的张量吗？比如
我随手就根据S3中置换的奇偶性写了一个看似很有道理的表达式，他显然是一个End(TM_loc)中的元素，令它作用在向量e_l身上，考虑其矩阵表示：
我可以声称H是一个五阶张量吗？如果是，我们这样下去是不是可以做出无穷无尽的有意思的张量来？为什么黎曼几何的教材只写到4阶张量呢？
猜测：或许是因为后面这些高阶的东西不是张量，或许是因为它们并不有意思。为了考察到底是哪个原因，使得黎曼几何不研究4阶以上的张量，让我们逐个去考察这两个问题。
子问题1：什么样的量是张量呢？
不是张量，而
是张量，这是如何达成的？
下，考察Christofel符号的变化。
依定义有
，其中A是坐标变换的雅可比矩阵之逆。
代入有
依第一变元的函数线性+对第二变元Lebniz性展开化简，
得
即
为了对比系数，重置指标，
对比系数得 ( # )
可悲，加法都干出来了，确实不是张量。
加法是一次Lebniz律导致的，很难搞，但是如果希冀一个很棒很棒的消元法，把很多个( # )式相互做运算，类似消参一样，最后消掉加法带来的非张量性，就可以得到张量了。
课本告诉我们有一个很好的量叫黎曼曲率张量。这相当于告诉我们，如果依Riemann曲率张量去构造形如的量，则得到一种成功的消去加法的障碍、得到张量的一种消去法。还有其他得到张量的方法吗？是不是这就是为了得到张量所需进行的最少消元运算，使得其他所有理论上可能的张量都是黎曼曲率以某种标准的张量构造方式生成的呢？立刻回想起前天吃午饭的时候看到的定理。
（Weyl's Theorem 1929）
黎曼流形上逐点的保距变换不变量都可以用黎曼曲率张量及其协变导数来表示。
纵观我们的结果，可以把一个与坐标有关的非张量通过运算达成一个“最简”张量、使得所有其他张量都factor through最简张量的过程，叫做张量化。张量化的实质困难在于用消元处理多指标和Lebiz律，Lebniz律理解为线性运算之外的一个形式运算，（形式是无需考虑其是否由一个微分实现），在形式张量理论中是一个实质性困难。我们或许需要关于Lebiz律参与的抽象张量代数，以使得计算机来处理这个任务。
Weyl定理也解决了问题2，其他的更高阶张量并不有意思，因为我们已经找到了所有张量的参数化张量。但是却引发了
引申问题：
黎曼度量gij本身是张量，一同及其复杂的运算得到了R_ijkl是张量，R本身是gij的函数。用R反解gij似乎是不可能的。用R表达出的东西也可以用g表达，但是weyl定理说没必要！所有东西都是以R为单位打包好的！没有特别特别碎的部分以至于必须把R再劈开成gij。
这就引发另一个问题：在郭帅老师课上，我们见过Virasoro代数，Heisenberg代数，那时我们是用一个交换关系定义整个代数的。。其中c我忘记了，也不重要。
当时就疑惑：为什么交换子关系就定义了整个代数呢？？其实对于一般的代数，这是不对的。只不过这里特殊代数的生成关系只由交换子来体现。
而在我们的场景中，黎曼曲率张量在所有张量中有一个最原初的张量的地位，而其构造则是作为的结构系数出现的，交换子在定义某些代数时的根本地位，和交换子的结构系数Riemann张量在张量表示中的根本地位，是有关联的事情吗？
