Section1 二元运算总论

在有线性结构的空间V上定义双线性的二元运算 $*:V×V\to V$ 是一个很常见的情景，决定这一运算只需决定 $e_i*e_j$ ，从而又只需决定其在基下的展开系数。

记 $e_i*e_j=\Gamma_{ij}^ke_k$ ，称 $\Gamma_{ij}^k$ 是二元运算 $*$ 在基{ek}下的结构系数。结构系数完全决定了一个二元运算。可以讨论结构系数在基变换下的行为，此处略去。

如果二元运算没有任何运算律，则 $n^3$ 个结构系数可以是完全独立选取的；二元运算的任何运算律都将反映在结构系数的方程上。

Example1：交换律

$e_i*e_j=e_j*e_i$ ，也即对于任意k, $\Gamma_{ij}^k=\Gamma_{ji}^k$

Example2：结合律体现为 $(e_i*e_j)*e_k=e_i*(e_j*e_k)$ ，也即

$\Gamma_{ij}^l\Gamma_{lk}^te_t=\Gamma_{il}^t\Gamma_{jk}^le_t\\$

结合律对结构系数的要求是：对于任意t，均有 $\Gamma_{ij}^l\Gamma_{lk}^t=\Gamma_{il}^t\Gamma_{jk}^l$ .这是n个约束，从而 $\{\Gamma_{ij}^k\}_{1\leq i,j,k\leq n}$ 只有 $n^3-n$ 个自由度。

Example3：Jacobi恒等式体现为 $(e_i*e_j)*e_k+(e_j*e_k)*e_i+(e_k*e_i)*e_j=0$

也即 $\Gamma_{ij}^l\Gamma_{lk}^t+\Gamma_{jk}^l\Gamma_{li}^t+\Gamma_{ki}^l\Gamma_{lj}^t=0$ ，对于任意t.

Example4：Jordan恒等式(xy)(xx)= x(y(xx))

这个算律不是自由的，而是要求某些位置是同一个数，因此我们无法直接在基上写出这个恒等式，而必须从一般的向量入手。设x=ai·ei，y=bi·ei.

$\forall i,j,k,l,g\quad a_ib_ja_ka_l\Gamma_{ij}^e\Gamma_{kl}^f\Gamma_{ef}^g=a_ib_ja_ka_l\Gamma_{il}^e\Gamma_{ej}^f\Gamma_{kf}^g$

取ai= $\delta_{im}$ ，m是某个整数。有

$\forall m,j,g\quad b_j\Gamma_{mj}^e\Gamma_{mm}^f\Gamma_{ef}^g=b_j\Gamma_{mm}^e\Gamma_{ej}^f\Gamma_{mf}^g$

由于bj的任意性，有

$\forall m,j,g\quad \Gamma_{mj}^e\Gamma_{mm}^f\Gamma_{ef}^g=\Gamma_{mm}^e\Gamma_{ej}^f\Gamma_{mf}^g$

这是什么现象？

更特别的，如果结构系数是由势函数的偏导数定义的，那么我们将有如下对应关系

$二元运算的算律\iff 结构系数的方程 \iff 势函数的微分方程或函数方程 \iff 势函数系数的递推 \iff 组合问题的递推公式$

显然我们有一系列的非结合代数，joradan代数，malcev代数等等，能不能应用这些非结合律的其他算律，解决更多的计数问题？

Q1，这是多少个约束？

Q2，这可以和势函数、系数递推式联系在一起吗？

Q3，如果构造运算律((xy)x)(xx)=(x(yx))(xx)之类的，我们将得到一个四\Gamma方程，这个方程有没有可能约化换元为一个结合律的2Gamma方程？这些算律归结为方程后，有无最“小”的一个方程？

重要线索：如果有一个二元运算*，那么取a*b+b*a/2就是一个jordan运算。

在运算律的层面体现为：如存在一个分解 $\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}(H_{ij}^k+H_{ji}^k)$ .这也等价于Gamma是对称的，那么它是Jordan代数。这在线性空间上应该是成立的，但是单纯的jordan代数恐怕看不出来。

Section2 切空间上的二元运算

微分流形的情景下，我们实质上将涉及 $\{V_p\}_{p \in M}$ 一族向量空间，这族向量空间是被某个流形中的点索引的。我们将涉及其上的重要二元运算：Lie括号[ ]、Riemann度量< >、仿射联络 $\nabla$ 。最终由相容性得到唯一一个仿射联络——Levi-Civita联络。黎曼几何学科的某个侧面可以被理解为是一族向量空间在[ ], <>, $\nabla$ 三种运算下形成的运算系统。

2.1 Lie括号[ ]

Lie括号[ ，]是一个关于光滑结构的典范构造。所谓典范，不仅仅指自由度是0，（自由度是0等价于有限种选取），更是指在某个意义下可以唯一选取出来。

2.2 Riemann度量< >

假设M的微分结构已经取定，在考虑局部理论时也总是取定一组坐标函数，此时赋予流形Riemann度量即是局部上逐点赋予正定矩阵 $\{g_{ij}\}$ ，使其光滑变化、且在不同的坐标卡选取下相容。黎曼度量是微分流形上一个非典范的构造。

有了黎曼度量，我们即多了一个谈论二元配对的符号 $<·,·>$ . 需要指出的是，一方面可以认为内积不是一个二元运算，是一个二元函数，因为二元运算一般取值仍在定义域的空间内；另一种方面，也可以认为内积的值域是一维向量空间，故这个“扩大化”的二元运算的结构系数由 $g_{ij}^k$ 退化为 $g_{ij}^1$ ，即 $g_{ij}$ .

2.3 仿射联络 $\nabla$

仿射联络 $\nabla_{(·)}(·)$ ，与度量无关，非典范。

在取定了微分结构和度量结构后，对仿射联络这一二元运算施加如下两条要求可使其典范：

1 对称性

2 度量相容性

Def 对称联络 $\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]$

remark：右侧是Lie括号，故对称性是要求 $\nabla$ 与微分结构相容.体现在结构系数上，至多是一个 $f(微分结构,\Gamma_{ij}^k)$ 的形式

remark：度量相容性体现在结构系数上，至多是 $f(g_{\mu\nu},\Gamma_{ij}^k)$ =0.

喜报！上述两个条件中，对称性可以约化为 $\Gamma_{ij}^k=\Gamma_{ji}^k$ ,而度量相容性可以直接反解出 $\Gamma_{ij}^k=f(g,i,j,k)$ .从而在微分结构取定的情况下，克式符，及后续的黎曼曲率、里奇曲率、数量曲率，均完全由度量决定。

Section3 重要运算的结构系数

3.1 度量矩阵 $g_{ij}$ ,是内积的结构系数

3.2 Christofel符号 $\Gamma_{ij}^k$ ，是Levi-Civita联络的结构系数

3.3 黎曼曲率张量，是联络的交换子的结构系数

$(\Delta_{e_i}\Delta_{e_j}-\Delta_{e_j}\Delta_{e_i})e_k=R_{ijk}^le_l\\$

用二元运算 $\Delta_{(·)}(·)$ 生成三元运算 $\Delta_{(·)}\Delta_{[·]}-\Delta_{[·]}\Delta_{(·)}\{·\}$ ，黎曼曲率张量定义为三元运算的结构系数。

因为该三元运算由二元运算生成，故其结构系数可以完全由二元运算的结构系数表出，即黎曼曲率张量由Christofel符号表出，从而也由度量gij表出。

3.4 里奇曲率 $R_{ij}:=R_{ikj}^k$

3.5 数量曲率 $R:=R_{ij}g^{ij}$

Section 4 微分结构下的恒等式

以上讨论了流形切空间上线性结构与二元运算结构共同作用下的若干重要构造，并且完全是代数的。

在黎曼几何所讨论的层面上，微分结构永远固定不变，上述所有构造均被度量结构决定。度量 $g_{ij}$ 参数化了更高阶的张量 $\Gamma_{ij}^k$ 和 $R_{ijk}^l$ ，少的信息参数化了更多信息，这必然表明看似更多的信息并不是自由的，其中必然存在一些约束关系，或者说恒等式，需消掉参数依赖才可看到。

回顾高中解析几何x=2t/(1+t^2), y=2(1-t^2)/(1+t^2)，消参的原理是什么？那时我们只要写出一个x和y的代数关系，使得被t参数化的x(t)和y(t)复合那个关系即可。但现在不一样，我们有微分结构。我们要写出的不仅仅是x和y的代数关系，更可以是x和y',y'',y'''...的代数关系。如果认为微分提供了一个可谈论的函数符号，那么我们需要考虑微分作为形式运算，提供了哪些生成关系，允许我们导出新的恒等式。

在微分层面，添加了微分结构后唯一增加的一个形式恒等关系就是 $\partial_i\partial_j=\partial_j\partial_i$ ，我们至少要微分两次才能看到恒等式。注意到Chistofel符号与度量的一阶导有关，所以要想得到形式恒等式，必然与Chistofel的一阶导、度量的二阶导有关。

回顾表达式 $\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}g^{kl}(g_{li,j}+g_{jl,i}-g_{ij,l})$

2024-12-16 黎曼几何新讲