初高中衔接讲座：立体几何入门~问题及答案

前言

几何知识的学习可以分为两个阶段：感性阶段和理性阶段。在小学，我们就开始认识三角形、正方形、长方形、平行四边形和梯形，并学习周长和面积的计算。这就是感性阶段。在初中，我们学习了平行四边形和矩形的性质定理、判断定理，这就是理性阶段。
类似的，在开始以理性方式学习立体几何之前，先用感性方式，通过观察和归纳，得出一些贴近生活实践的立体几何知识，可以提高理性阶段的学习效率。
以下是关于空间中平面和直线的一些问题。不需要看教科书，根据自己的生活经验和观察来回答。回答问题时最好能够联系生活中的实际的例子。

第1组：三条直线

$\mathbb{Q:}$ $l,m,n$ 是空间中三条不重合的直线。如果 $l // m, \; m // n$ ，那么， $l,n$ 这两条直线的关系可能是怎样的？

$\mathbb{A:}$ 若 $l // m, \; m // n$ ，则 $l // n$ . 这一事实被总结为： 『公理四』。

$\mathbb{Q:}$ $l,m,n$ 是空间中三条不重合的直线。如果 $l \perp m, \; m \perp n$ ，那么， $l,n$ 两条直线的关系可能是怎样的？

$\mathbb{A:}$ 两条直线均与第三条直线垂直，这两条直线的关系并不确定，存在3种可能：1）相交；2）平行；3）异面。

其中，由相交的情形可以推出线面垂直。完整表述如下：

如果 $m \perp l, m \perp n,$ 且 $l \subset \alpha,\; n \subset \alpha, \;l \cap n =D$ ，则 $m \perp \alpha$ .

以上命题也就是 「线面垂直的判定定理」。

$\mathbb{Q:}$ $l,m,n$ 是空间中三条不重合的直线。如果 $l \perp m, \; m // n$ ，那么， $l,n$ 两条直线的关系可能是怎样的？

$\mathbb{A:}$ $l \perp n$

第2组：三个平面

$\mathbb{Q:}$ $\alpha,\beta,\gamma$ 是空间中三个不重合的平面。如果 $\alpha //\beta,\; \beta // \gamma$ ，那么， $\alpha,\gamma$ 两个平面的关系是怎样的？

$\mathbb{A:}$ $\alpha // \gamma$ .

也就是说：平面的平行关系具有传递性。

$\mathbb{Q:}$ $\alpha,\beta,\gamma$ 是空间中三个不重合的平面。如果 $\alpha \perp \beta,\; \beta \perp \gamma$ ，那么， $\alpha,\gamma$ 两个平面的关系是怎样的？

$\mathbb{A:}$ $\alpha,\gamma$ 两个平面的关系不确定；有可能平行，也可能相交。假如 $\alpha$ 与 $\gamma$ 相交，那么它们的交线必定垂直于平面 $\beta$ .

举例来说，门轴所在直线是门板与门框的交线。门框与地板垂直，门板也与地板垂直；这两个平面的交线（门轴）也垂直与地板。

$\mathbb{Q:}$ $\alpha,\beta,\gamma$ 是空间中三个不重合的平面。如果 $\alpha \perp \beta,\; \beta // \gamma$ ，那么， $\alpha,\gamma$ 两个平面的关系是怎样的？

$\mathbb{A:}$ $\alpha \perp \gamma$ .

第3组：两个平面和一条直线

$\mathbb{Q:}$ $\alpha, \beta$ 是空间中两个不重合的平面， $m$ 是在 $\alpha, \beta$ 两平面外的一条直线。如果 $m // \alpha, \; m//\beta$ ，那么， $\alpha,\beta$ 两个平面的关系是怎样的？

$\mathbb{A:}$ 两个平面均与同一条直线平行，这两个平面间的关系并不确定；它们有可能平行，也可能相交。

假如它们相交，则其交线具有以下性质：

如果 $m // \alpha, \;m // \beta,$ 且 $\alpha \cap \beta = l$ , 则必有： $l // m$ .

举例来说，绘图铅笔常常做成六棱柱的形状。铅芯所在直线与六个侧面都是关系；相对的侧面间是平行关系，而相邻的侧面间是相交关系。相邻侧面的交线与铅芯则是平行关系。

$\mathbb{Q:}$ $\alpha, \beta$ 是空间中两个不重合的平面， $m$ 是在 $\alpha, \beta$ 两平面外的一条直线。如果 $m \perp \alpha, \; m\perp \beta$ ，那么， $\alpha,\beta$ 两个平面的关系是怎样的？

$\mathbb{A:}$ $\alpha // \beta$ .

举例来说，学校操场上的旗杆与教学楼的所有楼板是垂直关系，而楼板之间是平行关系。

$\mathbb{Q:}$ $\alpha, \beta$ 是空间中两个不重合的平面， $m$ 是在 $\alpha, \beta$ 两平面外的一条直线。如果 $m \perp \alpha, \; m // \beta$ ，那么， $\alpha,\beta$ 两个平面的关系是怎样的？

$\mathbb{A:}$ $\alpha \perp \beta$ .

举例来说，绘图铅笔的铅芯与垂直与其底面；同时，铅芯与六个侧面间是平行关系；而侧面与底面间是垂直关系。

第4组：两条直线一个平面

$\mathbb{Q:}$ $m,n$ 是平面 $\alpha$ 外的两条不重合的直线，如果 $m//\alpha, n // \alpha$ , 那么， $m,n$ 两直线间的关系是怎样的？

$\mathbb{A:}$ $m,n$ 两直线间的关系并不确定；存在3种可能：平行、相交、异面。

其中，相交的情形可以推出面面平行。完整表述如下：

$m \subset \beta,\;n \subset \beta,\; m \cap n=D$ , 且 $m//\alpha, n // \alpha$ , 则 $\alpha // \beta$ .

以上命题也就是「面面平行的判定定理」.

$\mathbb{Q:}$ $m,n$ 是平面 $\alpha$ 外的两条不重合的直线，如果 $m\perp \alpha, n \perp \alpha$ , 那么， $m,n$ 两直线间的关系是怎样的？

$\mathbb{A:}$ $m // n$ .

举例来说，操场上的旗杆垂直与地面；操场外的电线杆也垂直与地面；旗杆与电线杆之间相互平行。

$\mathbb{Q:}$ $m,n$ 是平面 $\alpha$ 外的两条不重合的直线，如果 $m\perp \alpha, n // \alpha$ , 那么， $m,n$ 两直线间的关系是怎样的？

$\mathbb{A:}$ $m \perp n$

第5组：较复杂的情况

$\mathbb{Q:}$ 如果 $m // \alpha,\; \alpha // \beta$ , 那么，直线 $m$ 与平面 $\beta$ 间可能是什么关系？

$\mathbb{A:}$ $m // \beta$

$\mathbb{Q:}$ 如果 $m \perp \alpha,\; \alpha \perp \beta$ , 那么，直线 $m$ 与平面 $\beta$ 间可能是什么关系？

$\mathbb{A:}$ 直线 $m$ 与平面 $\beta$ 间的关系存在两种可能：1） $m // \beta$ ; 2） $m \subset \beta$ .

在具体问题中，假如已知 $m$ 直线在平面 $\beta$ 外，则可以断定 $m // \beta$ .

$\mathbb{Q:}$ 如果 $m \perp \alpha,\; \alpha // \beta$ , 那么，直线 $m$ 与平面 $\beta$ 间可能是什么关系？

$\mathbb{A:}$ $m \perp \beta$ .

举例来说，桌子腿与地板垂直，天花板与地板平行，而天花板与桌子腿垂直。

$\mathbb{Q:}$ 如果 $m // \alpha,\; \alpha \perp \beta$ , 那么，直线 $m$ 与平面 $\beta$ 间可能是什么关系？

$\mathbb{A:}$ 直线 $m$ 与平面 $\beta$ 间的关系不确定，存在多种可能性：1） $m // \beta$ ；2） $m \subset \beta$ ；3）直线 $m$ 与平面 $\beta$ 相交. 第3种情形中，包括直线与平面垂直这种特殊情况。

举例来说，平放在桌面上的铅笔与教室的地板平行；地板与教室的四面墙垂直；桌面上的铅笔在平行与地板的前提下可以改变摆放的方向，铅笔与墙的关系也会随之而改变。

最后编辑于：2021.07.04 22:12:12

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