4.极点，极锥

极点

定义：设 $x$ 为非空凸集 $C$ 中向量，若对 $C$ 中任意不同于 $x$ 的 $y, z$ ，以及任意标量 $\alpha \in (0,1)$ ，使得 $x = \alpha y + (1-\alpha)z$ 均不成立，则称 $x$ 为集合 $C$ 的极点或顶点 (extreme point)。

极点示意图

注意事项

极点不能由凸集中其他点的凸组合来表示。
开集中无极点。
凸锥至多有一个极点，即原点。
凸多面体极点个数是有限的，亦可能没有。
多面体上的凹函数至少会在某个极点处取到最小值。

定理 (凸集与其低维线性子集的极点)
设集合 $C \subseteq \mathbb{R}^n$ 为凸集， $C$ 属于超平面 $H$ 对应的某个闭半空间，则 $C \cap H$ 的极点必是 $C$ 的极点且属于 $H$ ，反之亦成立。

图例

定理 (极点存在的直线条件)
设集合 $C \subseteq \mathbb{R}^n$ 为非空闭凸集，则 $C$ 含有至少一个极点当且仅当 $C$ 不包含直线。
定理 (多面体集极点定理)
设 $\mathbb{R}^n$ 中多面体集：
$P = \{ x \mid a_j^T x \leq b_j, j = 1, \ldots, r \}$
其中 $a_j \in \mathbb{R}^n$ , $b_j \in \mathbb{R}$ , $j = 1, \ldots, r$ ，则向量 $\mathbf{v}$ 是 $P$ 的极点当且仅当集合：
$A_v = \{ a_j \mid a_j^T \mathbf{v} = b_j, j \in \{1, \ldots, r\} \}$ 含有 $n$ 个线性无关的向量。

极锥

定义：设 $C$ 为任意非空集合，其极锥 (polar cone) 定义如下：
$C^* = \{ y \mid y^{\top} x \leq 0, \forall x \in C \}.$

极锥

极锥的性质

设 $C$ 为非空集合，有
$C^* = (cl(C))^* = (conv(C))^* = (cone(C))^*.$
设 $C$ 为非空锥集合，有
$(C^*)^* = cl(conv(C)),$ 特别地，若 $C$ 是闭凸集，则 $(C^*)^* = C$ 。

多面体表示

定义：若多面体 $C \subseteq \mathbb{R}^n$ 可表示成如下形式：
$C = \{ x \mid a_j^{\top} x \leq 0, j = 1, \ldots, r \}$
其中 $a_j \in \mathbb{R}^n$ ， $r$ 是某个正整数，则称 $C$ 为多面体锥 (polyhedral cone)。意思是多面体锥可以表示成若干个闭半空间的交集。

多面体锥

有限生成锥

定义：若锥 $C$ 可表示成如下形式：
$C = \operatorname{cone}\left(\left\{a_1, \ldots, a_r\right\}\right) = \left\{ x \mid x = \sum_{j=1}^r \mu_j a_j, \mu_j \geq 0, j = 1, \ldots, r \right\},$

其中 $a_j \in \mathbb{R}^n$ ， $r$ 是某个正整数，则称 $C$ 为有限生成锥 (finitely generated cone)。

有限生成锥

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