弱大数定律

1. 期望

定义：假设离散型随机变量 $X$ 的分布律为：

$P(X = x_k) = p_k, k = 1, 2, ...$

如果级数

$\sum_{i=1}^{\infty} x_k p_k$

绝对收敛，则称级数 $\sum_{i=1}^{\infty} x_k p_k$ 的和为随机变量 $X$ 的数学期望，记为 $E(X)$ 。即，

$E(X) = \sum_{i=1}^{\infty} x_k p_k$

设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$ ，如果积分

$\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$

绝对收敛，则称积分 $\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$ 的值为随机变量 $X$ 的数学期望，，记为 $E(X)$ 。即，

$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$

数学期望简称期望，又称为均值。

2. 方差

定义：设 $X$ 是随机变量，若 $E\{ [X - E(X)]^2 \}$ 存在，则称 $E\{ [X - E(X)]^2 \}$ 为 $X$ 的方差，记为 $D(X)$ 或 $Var(X)$ 。即，

$D(X) = Var(X) = E\{ [X - E(X)]^2 \}$

度量随机变量与其均值 $E(X)$ 的偏离程度。

$\sqrt{D(X)}$ 记为 $\sigma(X)$ ，称为标准差或者均方差。

方差一个著名的表达形式，

$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

3. 切比雪夫不等式

定理：设随机变量 $X$ 具有数学期望 $E(X) = \mu$ , 方差 $D(X) = \sigma^2$ ，则对于任意正数 $\epsilon$ ，不等式

$P\{|X - \mu| \ge \epsilon \} \leq \frac{\sigma^2}{\epsilon}$

成立。

该不等式被称为切比雪夫不等式。

证明：

根据概率的定义，

$P\{|X - \mu| \ge \epsilon \} = \int_{|X - \mu| \ge \epsilon} f(x) dx$

$\leq \int_{|X-\mu| \ge \epsilon} \frac{|X - \mu|^2}{\epsilon^2} f(x) dx = \leq \frac{1}{\epsilon^2} \int_{|X-\mu| \ge \epsilon} |X - \mu|^2 f(x)dx$

$\leq \frac{1}{\epsilon^2} \int_{-\infty}^{\infty} |X - \mu|^2 f(x) dx = \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$

切比雪夫不等式也可以写成，

$P\{ |X - \mu| \lt \epsilon \} \ge 1 - \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$

切比雪夫不等式给出了在随机变量分布未知，只知道 $E(X)$ 与 $D(X)$ 的情况下，估计概率 $P\{(|X - E(X)|) \lt \epsilon \}$ 的界限。

4. 弱大数定律（辛钦大数定律）

4.1 弱大数定律

设 $X_1, X_2, ...$ 是相互独立同分布的随机变量序列，且具有数学期望 $E(X_k) = \mu, (k=1,2,...)$ 。计算前 $n$ 个变量的算术平均 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k$ ，则对于任意 $\epsilon \gt 0$ ，有

$\lim_{n \rightarrow \infty} P\{ |\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k - \mu| \lt \epsilon \} = 1$

证明：
[1]中只给出了随机变量的方差 $D(X_k) = \sigma^2 (k=1,2,...)$ 存在这一条件下的证明。

考虑随机变量 $Y= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k$ ，

$E(Y) = E(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n E(X_k) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \mu = \mu$

$D(Y) = D(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k) = (\frac{1}{n})^2 \sum_{k=1}^n D(X_k) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$

根据切比雪夫不等式 $P \{ |X - E(X)| \lt \epsilon \} \ge 1 - \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$ ，

$P\{ |\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k - \mu| \lt \epsilon \} = P \{ |Y - \mu| \lt \epsilon \} \ge 1 - \frac{\sigma^2/n}{\epsilon^2}$ ，

根据概率的定义， $0 \leq P(X) \leq 1$ ，有

$1 \ge P\{ |\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k - \mu| \lt \epsilon \} = P \{ |Y - \mu| \lt \epsilon \} \ge 1 - \frac{\sigma^2/n}{\epsilon^2}$ ，

对不等式取 $n \rightarrow \infty$ ，得到

$\lim_{n \rightarrow \infty} P\{ |\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k - \mu| \lt \epsilon \} = 1$

弱大数定律表明：对于独立同分布且具有均值 $\mu$ 的随机变量 $X_1, X_2, ..., X_n$ ，当 $n$ 很大时它们的算术平均 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k$ 很可能接近于 $\mu$ 。

也称序列 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k$ 依概率收敛于 $\mu$ 。

4.2 伯努利大数定理

设 $f_A$ 是 $n$ 次独立重复试验中事件 $A$ 发生的次数， $p$ 是事件 $A$ 在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 $\epsilon \gt 0$ , 有

$\lim_{n \rightarrow \infty} P\{ |\frac{f_A}{n} - p| \lt \epsilon \} = 1$

References

[1] 概率论与数理统计（浙大第四版），盛骤、谢式千、潘承毅。

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