5.4外掠平板层流换热边界无量纲微分方程式分析解简述

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(1)把偏微分方程组变常微分方程组

(2)解速度场，再解温度场，再得到局部换热系数hx

引入三个无量纲变量 $(\mu,f(\mu),\theta)$

①无量纲的位置 $\mu(x,y)=y\cdot\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}}$
②无量纲流函数 $f(\mu)=\frac{\Psi}{\sqrt{\nu\cdot xu_\infty}}$
③无量纲温度 $\theta=\frac{t(\mu)-t_w}{t_\infty-t_w}$
$这里的\nu 为运动粘度$

流函数—— $\Psi$

$u=\frac{\partial \Psi}{\partial y}, v=-\frac{\partial \Psi}{\partial x}$

现在u与流函数以及位置联系起来，具体流函数的表达式需要求得

$\Psi=f(\mu)\cdot \sqrt{\nu xu_\infty}$

$u=\frac{\partial \Psi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}[f(\mu)\cdot \sqrt{\nu xu_\infty}]=\frac{\partial f(\mu)}{\partial \mu}\cdot\frac{\partial\mu}{\partial y}\sqrt{\nu xu_\infty}\\ \because \mu=y\cdot\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}},\frac{\partial \mu}{\partial y}=\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}}\\ \therefore u=\frac{\partial f(\mu)}{\partial \mu}\cdot\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}}\cdot\sqrt{\nu xu_\infty}=u_\infty f'(\mu)\\$

同样的道理

$v=-\frac{\partial \Psi}{\partial x}=-\frac{\partial}{\partial x}[f(\mu)\cdot \sqrt{\nu xu_\infty}]=-\frac{\partial f(\mu)}{\partial \mu}\frac{\partial \mu}{\partial x}\cdot \sqrt{\nu xu_\infty}-f(\mu)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(\sqrt{\nu xu_\infty})\\ \mu=y\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}},\frac{\partial \mu}{\partial x}=y\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu}}\cdot(-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}})\\ v=-\frac{\partial f(\mu)}{\partial \mu}\cdot y\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu}}\cdot(-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}})\cdot \sqrt{\nu xu_\infty}-f(\mu)\sqrt{\nu u_\infty}\cdot(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}})\\ v=\frac{1}{2}\frac{\partial f(\mu)}{\partial \mu}\cdot y\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu\cdot x}}\cdot x^{-1}\cdot\sqrt{\nu xu_\infty}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\nu u_\infty}{x}}\cdot f(\mu)=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\nu u_\infty}{x}}[f(\mu)-\mu f'(\mu)]\\$

最终 $u=u_\infty f'(\mu);v=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\nu u_\infty}{x}}[f(\mu)-\mu f'(\mu)]$

经过边界层理论省略一项x处二阶偏导的动量偏微分方程常微分化

$u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=\nu\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}$

带入u，v的无量纲表达式，推导过程非常繁琐,比如 $f'''(\mu)=\frac{\partial(f''(\mu))}{\partial \mu}\cdot \frac{\partial \mu}{\partial x}$

$f'''(\mu)+\frac{1}{2}f(\mu)f''(\mu)=0\tag{1}$

同样的，能量方程也可以转换为

$\theta''({\mu})+\frac{1}{2}Prf(\mu)\theta'(\mu)=0\tag{2}$

推导过程省略，讨论结果，前面无量纲化得到一个推论 $\frac{u}{u_\infty}=f'(\mu)$

1.流场分布

三阶非线性微分方程，只能数值计算，参考布拉休斯数值解 - 简书 (jianshu.com)

001.png

速度场分布图的结果如上,观察上图，横坐标为速度与主流速度之比,当达到主流速度的时候，y定义为边界层厚度
$u/u_\infty=0.99,y=\delta$

此时纵坐标为 $\mu,其数值为5.0,带入y=\delta$

$5.0=\delta\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}}\\ \therefore \delta=5.0\cdot\sqrt{\frac{\nu x}{u_\infty}}\\$

边界层厚度的公式式根据此图得到，为书上未给出的既定知识,上式等号左右两边除以x

$Re_x=\frac{u_\infty x}{\nu}\\ \frac{\delta}{x}=5.0\cdot \sqrt{\frac{\nu}{u_\infty x}}=5.0Re^{-1/2}_x\tag{4}$

在上图中发现，边界层内速度在y上的分量尽管很小，但是不为静止 $\frac{v}{u_\infty}\cdot\sqrt{Re_c}=0.86$ ,假设层流下 $Re=10^4,\frac{v}{u_\infty}=0.86\%$

大约的，边界层上y方向的速度为主流速度的0.86%

流体力学中学到的范宁摩擦系数，等于摩擦力除以流体的密度动能

$\tau_{w,x}=\rho \nu\frac{\partial u}{\partial y}=C_{f,x}\frac{\rho u^2_\infty}{2}\tag{5}\\ \frac{C_{f,x}}{2}=0.332\cdot\sqrt{Re_x}^{-1/2}$

同样，对于温度场的三阶微分方程(2) 依然需要用数值计算

002.png

该图因为Pr数不同比只有两条线的速度场分布复杂一些

①Pr数越大，在非常小的空间内温度变化更大，因此温度分布更陡峭

②在横坐标无量纲温度 $\Theta=0.99$ 的地方，Pr越大，纵坐标 $\theta函数值$ 越小

③纵坐标在x=0.99的地方，如果Pr=1， $\delta_t=\delta$ ，所以随着Pr增大热边界层厚度小于速度边界层厚度（ $Pr=\nu/a$ ）

波尔豪森在1921年对这个温度分布做了数值求解,壁面处温度分布的导数： $\frac{\partial \theta}{\partial \mu}|_{\mu =0}=0.332Pr^{1/3}(0.6<Pr<10)$

3.带入对流换热偏微分方程公式 $h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x}$

hx与壁面处（ $y=0,\mu=0$ ）处的温度梯度有关，而上式中无量纲的温度梯度经过转换容易得到

$\because \theta=\frac{t-t_w}{t_\infty-t_w}\\ h_x=\frac{\lambda}{t_\infty-t_w}(\frac{\partial (t-t_w)}{\partial y})|_{y=0}=\lambda\cdot (\frac{\partial \theta}{\partial \mu})|_{\mu=0}\cdot\frac{\partial \mu}{\partial y}$

上式中， $(\frac{\partial \theta}{\partial \mu})|_{\mu=0}=0.332Pr^{1/3}$ ，由波尔豪森求得

定义的无量纲位置 $\mu(x,y)=y\cdot\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}}$ ,因此 $\frac{\partial \mu}{\partial y}=\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}}$

$h_x=\lambda\cdot 0.332Pr^{1/3}\cdot \sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}}\cdot \frac{x}{x}$

转换为雷诺数相关的形式 $h_x=0.332\frac{\lambda}{x}Re^{1/2}_xPr^{1/3}$

增加一个定义简化上式 $Nu_x=\frac{h_x x}{\lambda}=0.332Re^{1/2}_xPr^{1/3}$

对比毕沃数 $Bi=\frac{h\delta}{\lambda}$ ,形式很相近，但是Bi中 $\delta$ 为半个特征长度，导热为壁面，Nux数为流体的导热

对于长度为l的常壁温平板，取积分平均值

$h=\frac{1}{l}\cdot \int_0^l h_xdx=0.664\frac{\lambda}{l}Re^{1/2}_lPr^{1/3}\\ Nu=\frac{hl}{\lambda}=0.664Re^{1/2}_lPr^{1/3}\tag{6}$

5.4外掠平板层流换热边界无量纲微分方程式分析解简述