第一题是高中题，第二题是初中题。
第一题
证明方法如下。
方法解读
从图2可知，主要运用了分类讨论加放缩。用到我们熟知的不等式放缩来化繁为简：。
在讨论第二种情况时，我们要证明而
，这是对钩函数，在
这个原生范围内是增函数，在
趋向0时，此时显然有
。这说明
目前这个下限不好，合适的下限应该是一个大于0的数，且在该下限函数f >=0。当然最好是能得到
的精确解，其次是合适的下限。
进退互化，正难则反，从精确解退到模糊解(对此题是取值范围)。因方程中有对数，显然无法求出
的精确解，所以自然想到通过放缩来进行下限估计，得到下限：
。
放缩有度 监控调整
对此题，在最开始探索解题方法时，考虑了下面的放缩方案。
但很快就会发现这样的放缩是失败的，上面的第一个不等式不成立。思维监控，及时醒悟，迷途知返。反思失败原因，很容易知道用了两个放缩，导致放缩过头了。故对方案进行调整或微调或彻底否定采用其他放缩或其他证明方法，这里调整为只用这一个进行放缩。
第二题
如图3，B点在直线上。
解法如下。
是怎么想到上面的几何解法的？靠辩证法的矛盾分析与合情设想，先通过矛盾分析法找痛点，再合情设想找理想模式，把理想的模式无中生有地直接想出来，不要误解“无中生有”，它不是天马行空地凭空想象，也不排斥天马行空地想象，只要最后能想出可行的能落地实现的东西。解法的探索发现需要非逻辑思维与逻辑思维的结合，主要倚靠非逻辑思维能力，下面会提到“见微知著”和其它的一些。
数学学科，逻辑思维非常容易训练好，可以说不需要啥悟性，小学或初中阶段逻辑思维能力就应该过关，难在非逻辑思维的修炼，需要些悟性需要提炼，但非逻辑思维能力强的人一旦把其中的一些能言传的部分化隐为显形成白纸黑字的各种媒介(图文、音视频)之后，后来者可以学习，消化理解，再有意识地去实践体验，有共鸣，心有戚戚焉就变成自己的了，就入门了。
学数学的主要目的并不是要学过多的数学知识，而是锻炼思维能力，特别是创新思维能力和探索发现能力，领悟数学的思想方法，如果工作后从事其他领域，也可迁移到其它领域的问题解决中。学数学更不是追求试图解出所有的数学考试题和竞赛题，变成考试机器或竞赛机器，即便是数学大师也很有可能不会解我们的高中数学高考题，但这不妨碍他们产出数学创新成果。思维比知识重要，思维是知识之母，而我们数学教育一直偏重灌输数学知识，而对数学思维方法与数学思想方法的训练普遍不到位，这就是本末倒置。这样的数学教育让学生们的数学学习难上加难，事倍功半，为了补拙为了应付考试出成绩，增加学生负担海量刷题、海量培训和超前学习数学知识(不反对极少数人超前学)是必然的，这样培养出的数学考试高手或竞赛高手，并不意味着他们以后如果从事数学研究，就有更大可能取得有影响力的数学研究成果，而是很可能泯然众人矣，和国外真正的数学研究高手相比，很可能普遍不如人家，而我们的数学竞赛选手大多从小学就开始学奥数，在奥数上花费的时间和刷题数量远多于国外，取得好的竞赛成绩是理所当然的，但我们作为数学竞赛强国，不是数学研究强国，数学研究水平很一般。
辩证法的矛盾分析
对，其系数不是1，且两个系数不相同，故进行归一化处理，得到
，转化为求
转化为求的最小值后，如果是几何法求最小值，我们从解题审美从直觉审美的角度来看，研几入微，容易觉察到此题有两个不好的情况(两个痛点)，或者说辩证法中的两个需要消除的矛盾(拦路虎，产生解题难度的障碍)。
第一个不好的情况：在图形中还不存在，需要构造出长度等于
。
第二个不好的情况：AB、CD两条线段的位置关系不好结构不好，它们不在一起不集中，没有公共端点，不能产生聚合效应。和我们已掌握的熟悉的与最小值有关的几何模型几何知识比对，此题的图形结构和我们熟悉的几何模型相似度极低，我们没学过在这种情况直接求最小值的数学知识(几何模型)，也就是在这种情况下，不便于求最小值，这就造成解题困难。考虑到要构造出，如果在AB直线上构造出一条长度为
，它仍然与CD的位置关系不好，所以要在其他地方(位置)构造。
合情设想
我们可以合情设想：
也就是合情设想出如下的求最小值的几何模式。
这个最小值模式是我们熟悉的学过的，它就是我们的x下一步的构造目标。如果我们能构造出这样的几何模式，显然最小值就是两个定点的直线距离。
美好的设想美好的想法要有，万一实现了呢！要勇于探索用于尝试，失败是成功之母，失败后经过反思调整，继续探索尝试新的想法，就有可能找到解题方法。
那具体如何消除解决上面的两个矛盾，化繁为简，如何落地实现这个设想？
如何实现美好的设想
我们通过构造三角形全等，运用全等的位置转移功能。尽信书不如无书，不要完全遵照数学教材来局限自己对几何变换的认知，不只是平移、旋转、对称、位似、仿射、反演等典型的几何变换，通过全等或其它方式实现的几何对象的位置转移、位置改变(移形换位)也是几何变换。在构建自己的数学认知结构时，把它们理解成广义的非典型的几何变换即可，要有这样的认知。
数与形，数形结合，数形结合应该包含多重含义，不只是狭义的“以形助数，以数解形”。对此题，在几何对象形的视角来看，通过构造全等，将CD这个几何对象的位置转移调整为QP，或者理解为制造一个站位好(位置好，与其他对象构成便于解题的几何结构)的替身QP，而在算术和代数的数量角度来看，CD=QP，在长度(数量)上是等量代换。
研几入微，对中不起眼的系数
也要关注，见微知著，相似联想，这个系数暗示我们这是几何中的相似比，或者说要把它看成相似比。看懂这个暗示之后，很自然进一步得到启发和想法(念头)：构造三角形相似可能是一条可行的出路。
根据“微”(相似比2/3和要构造出三角形相似的设想)，从微到著，见微知著地进行构造：构造出数学对象和关系，构造出结构与模式。对此题，就是构造出长度4的OM几何对象(OM长度=2/3*OA=4),构造出角QOM=角AOB。最终构造出“著”(与三角形AOB相似的三角形QOM就是“著”，就是整体)，补齐了“著”。
循环往复，否定之否定，再从著到微，得到新的微：。MQ就是2/3AB(此时把2/3AB看成一个长度数值比较好)对应的几何实体对象或化身。
而MQ与QP正好构成我们设想的最小值模式：Q为公共端点，M、P为两个定点，。
另外，要注意体会系统思想、整体(母体模式)思想。我们要构造出，见微知著，上升层次，升格，上升到回到它关联的或它所属的系统中所属的整体中。对
我们的思绪要上升到包含它的OMQ三角形（
），这个三角形对MQ子元素来说就是整体，就是系统，就是母体模式。
见微知著(从蛛丝马迹中小中见大、窥一斑而见全豹)是认知活动的底层逻辑之一，道在日用，在日常生活中经常运用“见微知著”。在数学思维活动中也离不开“见微知著”的意识和能力，例如对几何图形中的动点，虽然在图形中画出的是单个的动点，这单个的点就是“微”，也是“有”(可见的存在)。
“有”和“无”是辩证法中的一对范畴，任何事物都包含“有”，也包含“无”，它们俩是紧密相联的，“有”与“无”合起来才是完整的。物理学中如果没有暗物质暗能量(它们不可见，或不容易被探测到，故把它们理解成“无”)，物理理论就很不完整。所以我们在认知过程中要“见有思无，见微知著”。看到单个动点这个“有”时，见有思无，见微知著，发散思维，包括想到它关联的轨迹(轨迹是动点集合的显像)。而这个轨迹就是整体，就是“著”，它也是“无”，因为它在最初的图形中不存在，或者说它原本就存在，只是因为它是隐身的无形的，我们没有思维智慧想不到它，没有慧眼看不到它。如电磁场，原本存在，但无形，在不借助仪器的情况下，肉眼通常看不见它们。再比如看到现象，要有意识地试图挖掘现象背后隐藏的本质、规律、趋势。总之，我们锻炼思维能力，需要具有“见有思无、见微知著”的敏锐意识，蛛丝马迹往往就是突破口，从蛛丝马迹中推断出它(著)、发现它、想到它。
对动点问题，“见微知著”在大脑中想到轨迹之后，往往还要把轨迹画在纸上画在原有的图形上，这样就化隐为显变成“有”，变成可视化的，这就是“见微知著，无中生有，有无相生”。
对数学中的"轨迹思想、集合思想"，如果进行认知学上的溯源，其底层逻辑之一就是“见微知著”。
在几何解题中，除了动点轨迹之外，其它辅助线的添置也需要“见微知著，见有思无”意识的参与，在其它数学分支的解题中，“见微知著，见有思无，无中生有，有无相生”也有广泛运用。
代数方法
第二种方法是从代数法入手。
令OE=x,根据两点间距离公式，变形可得：
。
初中生求的最小值，要否定之否定，还是要重新回到几何法，寻找这个式子对应的几何意义、几何模式，构造出如下的模式。
用MQ+NQ就是将军饮马模式，当然可以跳过将军饮马直接用MQ+QP来求最小值，此时殊途同归，和第一种方法的模式是一样的。
对高中生，不需要几何构造，可用柯西不等式来求上面的最小值。
王国波 2013.3.21
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