线性代数系列：初等矩阵和行最简矩阵概念

关键词：线性代数，初等矩阵，行最简矩阵

行最简矩阵要满足4个条件
1.是行阶梯型，即每一行主元都要比上一行更靠右边，主元是每一行第一个非0元素
2.所有全零行必须在所有非零行的下面
3.所有主元都必须是1
4.所有主元所在列，除主元外，其他元素都为0

下列矩阵中，是行最简形矩阵（行简化阶梯形矩阵，Reduced Row Echelon Form, RREF）的是：

A.
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

B.
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

C.
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

D.
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

解:
A中第二行全零，不符合处于最下
B中第三行主元列有非零元素
C符合
D中第二行主元不是1

选择D

单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵是初等矩阵，初等变换包括交换两行/列位置，缩放某行/列，将某行/列的倍数加在另一行/列上

下列矩阵中，是初等矩阵的是：

A.
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

B.
$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

C.
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

D.
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

解:
如果以左乘为例
A：第三行和第二行交换位置，第二行在做拉升2倍
B：三行全部互相交换位置
C：第二行拉升2倍，第三行拉升-1倍
D：第三行的根号2倍加在第一行上

只有D是一次初等变换，答案选D

最后编辑于：2025.08.10 16:20:45

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