1 因为一个项集有许多次序，我们必不可在被排列的项集的性质中寻求序的定义，这是以上讨论的一个重要结果。次序不在项集中,而是在项集的分子间的一种关系中,由于这种关系乃有一些项出现在前,一些项在后。一个类可以有许多种次序这个事实是由于一个类的分子间可能有许多种关系。然则为了产生一种序，一个关系须具有些什么性质?
假设有一种关系能产生序,又有一个类为这关系排成次序,我们注意这类中的任何二项对于这关系而言，必定是一个在先一个在后,注意到这点,可以发现能产生序的关系的木质特征。现在为使这些字眼能适合于通常我们所了解的意义，序的关系应该具有以下三种性质:

_基于关系的性质来考虑序或定义序。

1）非对称
2）传递
3）连通

一个关系具有这三种性质时，就在有这关系的诸项间产生一种序。反之，无论何处有一种序存在，总可能发现一种关系，具有以上三种性质,产生以上的序。

_罗素在通过基于逻辑给出来的一些性质，来刻画数。用一些列的性质试图给出数的定义。
他在皮尔斯的5个命题的基础上展开思考，做一种通过若干逻辑命题来代替前者那自身还是没有说清楚的句子。说清楚，指的是把命题完全建立在逻辑之上。罗素的工作就是基于在皮尔斯的几个归纳命题，把这几个命题全部归于逻辑的推进。而逻辑负责照顾其自身，为算术奠基。

2在解释这个论题前,我们要引人几个定义。
(1)一关系称为是示异的(aliorelative)①，或者说包含于，或者说蕴含，相异性，如果没有一项对其自身有这关系。例如“大于”,“大小不等”,“兄弟”,“丈夫”,“父亲”都是示异的: 但是“相等”,“为同一父母所生”,“好友”却不是。
(2)当x与z两项之间有一中间项y，使得x与y之间及y与z之间有同一关系时，则x与z之间的关系是此关系的平方(square)。例如“祖父”关系是“父亲”关系的平方,“大二数”是“大一数”的平方。等等。
(3)一关系的前域由所有那些项所组成，这些项与其它东西有此关系。一关系的后域由所有那些项所组成,这些项是它东西与它有此关系。这些概念曾经定义过，在此不过是为了以下定义而回忆一过:
(4)所谓一关系的域(field of a relation)就是此关系的前域与后域所合成。
(5)一关系称为包含或者蕴含于另一关系中，如果不论何时另一关系成立,则此关系也成立。

(1) A relation is said to be an aliorelative, or to be contained in or imply diversity,if no term has this relation to itself。 defnitions. Thus, for example, “ greater”,“different in size”, “brother”，“husband,” “ father ” are aliorelatives; but “ equal,’’ “ born of the same parents”,“dear friend” , are not.
(2) The square of a relation is that relation which holds betweentwo terms x and z when there is an intermediate term y suchthat the given relation holds between x and y and betweeny andz. Thus “ paternal grandfather , is the square of father,greater by 2 ” is the square of “ greater by I,’, and so on.
(3)The domain of a relation consists of all those terms thathave the relation to something or other, and the converse domainconsists of all those terms to which something or other has therelation, These words have been already defned, but arerecalled here for the sake of the following defnition :
(4) The feld of a relation consists of its domain and converse iomain together.

aliorelative：示异和差异差不多，但是和包含看作一个意思？它们之间在什么用法上相等？
在这里，or翻译为或者说，还是或者？或者说的翻译，意味着其后的多个东西之间含义相等。或者 的翻译，可以意味其后的东西处于或然的情况之中：
没有一个成员和它自身具有这种关系，这种关系可以是示异，可以是包含于，可以是差异。——而示异、包含于、差异 这三中关系是不同的。
这里做哪种理解？这本书的译者采取前一种。
从后文看，引用的都是aliorelative，它作为定义的对象，这里的or后的多个概念大体是相同的含义。

这里要弄清的是 包含于的关系 为什么和 差异的关系 看作相似甚至相同。
没有一项对其自身有某个关系，把这个限定看作这个关系的定义，就可以了，在没有确定 包含和示异 之间的关系之先。

这里，示异似乎是更一般的定义，而包含则是较特殊的定义。前者可以看作后者的属，从后者中分有。

示异着眼于一项对于自身的关系：对于关系a，一项对于自身没有这个关系。这是对于关系的性质的刻画，这个关系把一个东西引向另一个东西，或者说这个关系是对于不同的东西之间的联系。
对称作为关系的性质。对称的关系中，处于关系中的不同东西，他们首先是示异的。然后，示异的不同东西之间，还存在某种共性。示异的关系作为对于这个共同的类的完全划分。比如二进制数中的0和1、真值下的真假。

2.1非对称的关系即其平方是示异的关系。常常会有关系是示异的，但不是非对称的。例如，“配偶”虽是示异的，然而也是对称的,因为，如果x是力的配偶，"也是x的配偶。可是在传递的关系中所有示异的关系都是非对称的;反之所有非对称的关系也都是示异的。

_非对称关系的定义：它具有一种性质，其平方是示异的。
对称关系，是一个关系中，项之间调换位置（前域后域的位置），关系还是成立。比如cupple，a和b是cupple，那么b和a也是cupple。这里，a和b是示异的。这个例子里，b可以就是a，那么这里就是一个非示异的对称。a总是与a相等。而a不能和a自身作为cupple。
指出非对称关系的意义，在于为序列留下伏笔。罗素随后就提到传递的关系。传递的关系是序列的前提。序列是数的性质。
传递关系是非对称的。但是非对称关系并非都是传递的。无序的关系也是非对称的。
非对称关系，其平方可以是非示异的。比如真值的否定这种关系，作为算子，真的否定是假，假的否定是真。这个关系的平方是非示异的。
这里，这句话是对于非对称关系的定义或描述。类比：
x的平方是b，b是确定给出的。
一个非示异的关系，其平方还是非示异的。比如相等：
a=b，b=c，推出a=c。
所以非对称关系一定是示异的。
这里进一步的规定是其平方也还是示异的。
一个关系，它是示异的，但是其平方非示异，比如关系cupple，那么它是对称的。
一个关系，它是示异的，并且其平方非示异，可以作为非对称关系的定义。由于平方为示异蕴含了它本身是示异的这一点，因而在定义里可以把自身示异这点略去不提。

然后，是非对称和传递之间的关系。传递是非对称的。但是对于非对称要加上什么限定作为传递的定义？
非对称把关系从对称的自身环回里扯出来。但是带来的还不是不同项之间关系的某种序列，传递。
接着看传递的定义，或者之前已经有所定义？

前面一页就在谈序的性质。里面1）提到非对称：
(1)如果x在y之先，或说x先于上则"必不先于x。一个关系具有这第一种性质，称为非对称关系。这是产生序列的关系的一个显著特性。
(2)如果x先于y,并且y先于z,x必先于z。一个关系具有这第二种性质称为传递的(transitive)
(3)给定为一关系所排列的一类中的任何二项，必是一个在先,另一个在后。一个关系如果具这第三种性质,就称为连通的(connected)

这3个性质，性质1指出特定两个项之间的关系的情况。性质2指出关系之间的联系或关系。性质3规定处于关系中的任意两项之间的先后关系的存在。从1到3是一种从两项的关系之非对称的规定，到有联系的两个关系之间统一于一个关系里处于两两关系中的三项，前项和后项之间基于它们和中项的关系而给出同一个关系，最后到任意两项之间某种关系存在的规定。这些规定递进地规定出序的概念。

2.2从这些定义中可知一传递关系是为它的平方所蕴涵的关系，或者我们也可以说,包含它的平方的关系。因而“祖先”是传递的，因为一个祖先的祖先仍是祖先;但是“父亲”不是传递的,因为一个父亲的父亲不再是父亲而是祖父。一个传递的示异关系既包含它的平方又是示异的;或者说它的平方既蕴含它，又是非对称的，两种说法意义相同,因为，当一关系是传递的，非对称的等价于是示异的。

_第一句话，蕴含的理解。一传递关系是为它的平方所蕴涵的关系。b（>c）、a>b，则a和c之间存在关系a（>c）。
包含它的平方的关系:a>b则a>c。
这蕴含的概念模糊。包含说的清晰了。

一个关系其平方蕴含它，这个关系是传递关系。关系的平方蕴含这关系：a的祖先是b，b的祖先是c，a和c之间是祖先的平方的关系，它们之间还是存在祖先关系。
对称关系的平方不蕴含对称关系，而是产生相等的关系。真对称的是假，假对称的是真，真和自身不是对称关系而是相等关系。对称关系具有示异的性质，和示异相区别的是相等或非示异关系。

回到前面蕴含和包含关系。蕴含和包含是同义的。蕴含和蕴含于相反。祖先关系的平方蕴含祖先关系。但是不说祖先关系蕴含祖先的平方关系。就像属种差序列里，就其内涵而言，不说属概念的内涵蕴含种差概念的内涵。祖先关系作为类，祖先的平方还是作为祖先是其一个项，但是这个类之下还具有别的项。比如父亲作为祖先的项，就不是祖先的祖先。
传递关系在于指出关系的平方还是蕴含这个关系本身的情况。以此构成一个同类的东西的序列。这也作为对于一个关系其作为传递关系的性质的一个规定。

这点倒是和类的类、二阶概念有着某种类似。二阶概念在于指出一个概念其本质或本体或它之为它的定义的东西。是一种对于自身或本体的回溯。基于共性的分析。
一个关系其平方蕴含它， 把关系置于某种运用或更进一步的关系（关系的平方）下来谈论这个关系的性质。这里存在语境原则的运用。代数式的命题，作为所要谈论的代数的东西的定义。x+7=12，可以用作对于x的定义。这个句子变换一下形式，就是x=12-7.这个变换可以类比指称词组和其语词表达式的关系。

前面二阶概念的类比，还是没想透。两者之间相同的点还么有抓到。

一个传递关系是它的平方所蕴含的关系：
A和B存在关系f（a，b），a和b表示逻辑空位，它们可以是任何东西。B和C也存在这个关系。那么A和C也存在这个关系。
这是关于传递关系的定义。一个关系的平方，指的是A和C之间的关系。传递关系的特征或本质或其定义所在在于：
A和C之间的关系也总是处于这个关系作为类之下。由此把这样的关系定义为传递的。
并非任何关系都使这个命题为真，只有传递关系为条件这个命题才是真的。
这里，当A和C是关于任何东西的谈论而无特指时，前面这个句子（A和C之间的关系也总是处于这个关系作为类之下），其中的总是就可以省去不说了。它已经被蕴含在内了，一个逻辑句子之为真，是必然的而非经验的。说一个逻辑句子总是真的，除了揭示任何逻辑本身普遍的性质之外，对于某个逻辑而言再去指出它，是同义反复。或者说没有意义。

一传递关系是为它的平方所蕴涵的关系，或者我们也可以说,包含它的平方的关系。
前半句，一个传递关系的平方蕴含这个传递关系。这里指出来的是一种基于概念分析产生出来的逻辑命题。总是···，而非基于这个传递关系的内容的经验性而定。
后半句，传递关系包含它的平方的关系。这里的包含，指的是在类的意义上，一个类对于处于其下的项的包含。
蕴含基于内涵对于类的分析、概念分析。包含则是基于外延对于类的情况作出的谈论。两者之间谈论的是同一个东西。

这段里后面这句话：
一个传递的示异关系既包含它的平方又是示异的;或者说它的平方既蕴含它，又是非对称的，两种说法意义相同,因为，当一关系是传递的，非对称的等价于是示异的。

传递的关系可以是非示异的。比如相等：
1，1，1，1···
也可以是示异的，这就要求给出不相等的某种策略或方法上的规定。示异又分为对称与否。对称关系的传递是一种成对的相等：
二进制中0，1，0，1，0，1，···，
或真假的交替序列。
但是，这不是传递的：平方关系里是相等的关系而非示异的关系，它和这个一次关系本身不同。
因此，传递的关系之示异的情况下，排除对称的性质。留下的是非对称的情况。

传递的关系，示异的规定或约束，使得它走上一个处于关系之下的项之间各各不同的情况。它构成自然数序列的一个条件。一个发散的，而非类下的项的封闭循环或重复的情况。二进制中0，1，0，1，0，1，···就是这种情况。

2.3
在一关系域中,给定任意的不同的两项,关系或者在第一项与第二项之间成立或者在第二项与第一项之间成立,如此,关系是连通的。(不排除两种悄形都发生这“种可能性,如果关系足非对称的,以上二种情形不可能全发生。)

_这句话是对于连通的解释。突出关系域中的任意两项基于处于前后域位置的两种可能中的一种总是具有这个关系。这一点建立在关系的传递性质之上。
它也是自然数作为序列其关系下的东西的性质。

我们可以看出，譬如“祖先”关系是示异的，传递的,但不是连通的。因为它不足以将人类排成一个序列。
在数中“小于或等于”的关系是传递的,连通的,但不是非对称的,也不是示异的。
在数中“大于或小于”的关系是示异的，连通的，但不是传递的，因为如果x大于或小于y，y大于或小于z，可能x与z是同一数。
是以这三种性质:(1)示异的，(2)传递的以及(3)连通的是相互独立的,因为一个关系可能有任何两种性质而无第三种性质,如我们在以上的例子中所见。

_我前面考虑的，连通以传递为条件，可见是不对的。
连通突出的是基于任意两项之间这关系的建立。比如在祖先这个关系里，前域后域合起来只是把所有直系血缘关系的人纳入其中，而并不能基于这个关系为秩序把所有人纳入统一的类。因此，祖先这个关系不连通。
示异和非对称，突出类的开放性，作为项的对无限性作出承接，这是一个关系所构成的类能够统一任何东西的条件。
传递也是关系要处理无限的对象纳入统一的条件。例子中的大于或小于，就是不等于。不等于这个关系仅仅指出差异，却没有对于差异的不同东西之间的额外的秩序作出限定。带来的是一种无序。这样的统一类似康德的union，其一还是无知中的聚合，聚合到这个统一之下来的根据的东西，还是没有给出来的。显然这不适合于数的情况。

3种性质里，从对于序的构造作为整体的统一的要求而言，首先要求的是示异性。它保证关系对于不同东西的敞开，避免落入相等关系的局限。
然后是连通性。连通性对于整体统一于关系下来作为域负责。
示异性和连通性合起来，前者规定关系对于不同的东西的承接，后者规定这些不同的东西之间关系的普遍性而纳入一个整体的类的统一之中。两个方面犹如亚里士多德对于质料和形式的划分它们的衔接构成一个实体。
传递性为给出的某个关系其下项之间的序。但是它并不为这个关系的普遍性负责。那是连通性的责任。

罗素对于这些性质的列举怎么保证作为必要条件的穷举呢？

我们现在建立以下的定义:
一关系如果是传递的，示异的和连通的;或者说，如果是非对称的,传递的和连通的,则此关系称作是序列的。
一个序列即是一个序列的关系,或者简称序列关系。

_回到前面这3点作为给出序列的规定的充分条件的质疑。示异指示项之间的不同。传递指示关系之间的递归，或者说处于传递的关系之中不同步或多次方的项之间始终还是处于这个关系之下，这可以看作关系的域中的不同项之间构成连通的关系。而最后无条件设定的连通性指示的是这个关系对于项作为类本身的普遍接纳，或者说对于关系提出以这个基于项本身的性质而来的类作为自身的域的要求。

等一下，这里定义的是序列而非自然数这个序列。因此，前面这段话有问题。这里并不涉及离开关系单单就项自身基于某种性质的给出的情况。这里谈论的是处于某个关系之下的项之间的关系的性质。
基于一个关系的给出，可以给出基于这个关系之下二次方的项，三次方项，···。这些项之间关系的性质进一步提出要求，产生出来序列的定义。因此，这里序列是定义的产物，而非作为综合判断。需要考虑的是这样定义的序列能够带来什么意义上的东西。它对于理解自然数有什么作用。

给定任何序列关系,譬如P，如果x对有P关系，这个我们简写成“xPy”,我们就说，对于关系P而言x“先于”y。P要成为一个序列关系,必须具有以下三种特性:
(1)我们决不能有xPx,亦即,决没有一项先于它自己。
(2)P²必须蕴涵P,亦即,如果x先于y,y先于z,x必先于z。
(3)如果x和y是P的关系域中不同的二项，我们将有xPy
或yPx，亦即二项中之一必须先于另一项。

这里序列的项可以写成f（a），a是自然数，它指示相应f的项数。而作为这一切的基础的，则是自然数序列本身。

虽然无论何处有一序列，也常有一传递的，非对称的，连通的关系,不过这个关系不总是能很自然地看成是产生序列的关系。自然数的序列可以作为一个例证。在考虑自然数时我们所假定的关系是直接后继的关系，也就是在两个相连的整数间的关系。这个关系是非对称的，但不是传递的或连通的。然而用数学归纳法我们能够从这关系得出“祖先的”关系，这在前--章中我们已经讨论

_自然数的相邻项之间的关系，加1，和大于这种关系的区别，前者是一个运算或算子，其自身是一个行动，而后者作为结果的判断。这使得类1 2 3 基于小于关系，是传递的。但是作为加1的关系，它不是传递的：1 2之间有加一的关系，但是1 3之间没有这个关系。
看看罗素接下来怎么处理这区别。

3 m对于n的关系:m是n的祖先而不等于n，或者(同样地)m的后继是n的一个祖先。换言之,我们可以建立以下的定义:
所谓一个归纳数m小于另一数n，即是n具有m的后继所具有的一切遗传的性质。
(An inductive number m is said to be less than another number n when n possesses every hereditary property possessed by the successor of m.
)

_这里，一个数的后继是加1得到的数。祖先，序列关系里在先的数。遗传性质：比如2>1，大于2的数具有2的后继3的所有性质。指大于1也大于2这样的性质。这个性质是可以遗传的。
但是，这么解释的问题在于，一个数的后继是加1得到的数，这样得到的序列和一个小于关系所构成的类或序列不同。一个数的后继是加1得到的数，这样的后续和小于关系的联系，在于前者看作一个数和大于这个数中最小的那个之间的关系。并且这里的最小的一步是加一。
小于这个关系蕴含自然数序列，但是并不限于它。前者并非定义后者的充分条件，或者说并非充分定义。
罗素随后的一段，并没有讨论这个区别，在小于和加一之间。而是不加说明就衔接过去了。

所谓一个归纳数m小于另一数n，即是n具有m的后继所具有的一切遗传的性质。
对于这个定义的理解落到这个概念：m的后继所具有的每一个遗传的性质。它就是m和比它小的数的关系。比如，3的后继所具有的一切遗传的性质，指的是比3大的数它们的共性，这个共性就是大于3。而大于3规定了它们具有3在基于按大小编排的序列中的性质，它大于1和2。
这个概念在于指出m的诸后继所具有的遗传性质，它们之间的析取。得到的就是m在序列中的位置，它大于其诸祖先。这个性质可以看作m的后继的性质，如果n>m，那么n就具有这个性质。反过来也成立，如果n具有这性质，那么n>m。

前面两段对m的后继，前一段理解为m+1，后一段理解为大于m的任何数。似乎前一段是对的。

3.1
An inductive number m is said to be less than another number n when n possesses every hereditary property possessed by the successor of m.

百度ai：
这个定义是在尝试阐述一种关于“小于”关系的概念，但它使用了比较专业的术语，如“inductive number”（归纳数）和“hereditary property”（遗传性质）。我们可以逐步解析这个定义：

归纳数（Inductive number）：在数学逻辑或数论中，归纳数通常指的是通过某种归纳过程定义或构造的数。例如，在自然数的定义中，一个数是归纳的，如果它是某个归纳集合的成员，这个集合包括一个基础元素（如0或1），并且包含所有其成员的后继（successor）。

后继（Successor）：后继是一个函数或操作，它将一个数映射到它的下一个数。在自然数的情况下，后继通常指的是加1的操作。

遗传性质（Hereditary property）：这是一个比较抽象的概念，指的是一个数或对象所拥有的某种属性，这种属性在某种操作或变换下会被“遗传”给通过该操作或变换得到的新数或对象。在这个定义中，遗传性质指的是那些被后继操作保持的性质。

现在，根据给定的定义：“一个归纳数m被认为小于另一个数n，当且仅当n拥有m的后继所拥有的每一个遗传性质。” 这意味着，如果我们考虑m的后继（我们可以称之为m+1），并且m+1拥有某些特定的性质（这些性质是遗传的，即它们也会适用于m+1的后继，以及后续的所有数），那么，如果n也拥有这些性质，我们就可以说m小于n。

这个定义实际上是在用性质的比较来定义数的大小关系。它基于这样一个假设：数的某些性质是随着数的增加而“遗传”或保持的，因此，如果一个数拥有另一个数的后继的所有这些性质，那么它就可以被认为是更大的数。

简而言之，这个定义通过比较两个数所拥有的遗传性质来定义它们之间的大小关系。

这里提到归纳数，并没有限定包含0。但是罗素提到：
“假使无论何时一数"有一性质，它的后继n十1也有，则称这性质在自然数串中是“遗传的”(hereditary)。同样,如n是一类中的一份子，n+1也是,则称这类是“遗传的”。
如果0有一个性质，并且这性质是遗传的，则称此性质为“归纳的”。同样,一个类如果是遗传的,并且0是它的一分子,则称这类是“归纳的”。”
最后这句把包含0看作归纳性质的定义。

遗传性质，和对于直接前趋这个关系而言某个数的后代指的是大于这个数的数。
对于一个数其直接前趋的关系，作为后继关系的逆关系，指的是包含这个数的所有遗传类所共有的项。是一种基于所有类做共有项的析取。这里是对于为外延所定义的类的处理（共有项的析取，得到的项重新构成一个新的基于外延所定义的类）。
而遗传性质，是对基于内涵所定义的诸类，对于它们在诸内涵之间做共有的内涵的析取，得到一个新的基于内涵所定义的类。
“n拥有m的后继所拥有的每一个遗传性质。” 这里的性质指什么样的东西呢？比如，m的后继所拥有的遗传性质包括m>m-1、m>m-2。由于后者蕴含于前者中（只要前者成立，后者总是成立），只要指出前者就够了。m的后继所拥有的所有遗传性质，就是大于m。这恰好用作对于作为比m大的n的定义。

回到这句话：所谓一个归纳数m小于另一数n，即是n具有m的后继所具有的一切遗传的性质。
n具有m的后继所具有的一切遗传的性质，m的后继是m+1，n具有m+1的所有遗传性质，即它大于m。n可以是m+1或是m的后继。这里指出的是n大于等于m+1这个规定或定义，它就是n大于m。两个句子谈的是相同的东西。