一些定义：

1假使无论何时一数n有一性质，它的后继n十1也有，则称这性质在自然数串中是“遗传的”(hereditary)。同样,如n是一类中的一份子，n+1也是,则称这类是“遗传的”。

如果0有一个性质，并且这性质是遗传的，则称此性质为“归纳的”。同样,一个类如果是遗传的,并且0是它的一分子,则称这类是“归纳的”。

——一数n，和它的后继n+1，这里n用于表述某个数在类或序列里的序号，类似指针，还是表示这个数的具体内容或数值？
这里的背景是“在自然数串中”，因而指的是数值而非序号。

n有一性质。n为0时，它是一个数。
性质的遗传。
类的遗传指如果n是其下的项，那么其后继也处于其下。后继所构成的序列，它们属于的同一个类。
但是这样的话，得到的只是一个通过小于关系排列出来的序列。从+1关系可以得到后继，n<n+1。但是并不能基于这个由小于关系的序列确定+1关系。

——归纳的，一种基于逻辑而给出来的东西。这东西不是认识论上直接给出，而是基于逻辑作为其外延得以被想到得以谈论的东西。这里，本质是基于内涵对这东西的定义，而非外延而言对于类的定义。
类的类着眼于从归纳中给出来的逻辑的产物，回到这逻辑本身。在这里，是逻辑（内涵）先于事物。

数的这种性质，在别的东西那里，很难遇到。比如不同颜色作为颜色，它们之间可以基于冷暖色调排序，但是不同的颜色之间并不存在这样共同的性质。所有颜色之间只有它们共同作为属概念的颜色这个共性，而没有此外更多的共性。
但是不同的数之间，可以基于加1逐个得到。它们都可以加1，可以相互相加得到的还是一个数。也可以做减法。但是红减绿没法减。

遗传的概念很重要。它导致一种基于归纳的共性的判断的可能。这里模糊的是无限和有限，类基于内涵被定义和基于外延得到定义的区别。罗素的策略是通过遗传的指出，引出归纳。但是这里处理的实际上是无限的东西。这里存在一种柏拉图对于实践的本体归于理念类似的情况。这里，处于同一个类之下的项是基于某个项的某个处理，比如加1，而逐个产生出来的。因此，这里可以就这个处理或作用，作为这个类下任何项的给出的原因，而基于这个原因的东西就被刻画出来。

遗传从经验归纳。而归纳到的性质它反过来可以作为并非经验的运用而是先天的运用。这一步就是归纳作为基于外延的定义到性质作为概念它作为基于内涵的定义的转换。

1.1 假使无论何时一数"有一性质，它的后继n十1也有，则称这性质在自然数串中是“遗传的”(hereditary)。同样,如n是一类中的一份子，n+1也是,则称这类是“遗传的”。

前一句基于类下的项指出之间的共性。这里的类是一个基于外延定义的或被给出来的东西。
后一句突出的是直接对于这个类的性质的谈论，有别于前者基于处于类之下的项的性质的谈论。虽然它们最后殊途同归，但是毕竟判断的起点（认识论上在先指出的东西）和落脚的终点（本体论的共性和性质）是不同的。两个句子相对而行，其衔接就是基于类的成员的性质的考察到达共性，这共性可以看作是关乎类的（性质的）谈论，和直接对类的性质作出判断，之间的衔接勾连。
2个句子，从前到后，是从处于类之下的项的性质的考察到这个类的性质的判断。这是类从基于外延的定义进到基于内涵的定义。

1.2 如果0有一个性质，并且这性质是遗传的，则称此性质为“归纳的”。同样,一个类如果是遗传的,并且0是它的一分子,则称这类是“归纳的”。
:归纳在这里是对于成员中间共性的指出。类的类。
这个句子有点不妥。后一句也许调整一下，更顺：
同样,一个类如果0是它的一分子,并且是遗传的,则称这类是“归纳的”。

2
给定一个遗传类，0是它的一分子，那么1也必是它的一分子,因为一个遗传类包括它的分子的后继,而1就是0的后继。同样,给定一个遗传类,1是它的一分子,那么2也是它的一分子;如是类推。这样我们可以通过一步接一步的步骤证明，任何指定的自然数,如30000,是每一个归纳类的一分子。

_每一个归纳类：这只有一个归纳类，它就是从0开始，通过加一得到的自然数。还有别的归纳类么？比如1/n所构成的类算归纳类么？但是这里指出的是0、1、2等作为类的成员，而非f（n），比如1/n作为类的成员的情况。
这里，0是它的成员，这是假设，基于这假设的偶然，作为条件关系指出1也是这个遗传类的成员。同样的，如果1是一个遗传类的成员，那么2也是。这里，就可以看出这里存在很多遗传类，它们分别以0、1、2等作为第一个成员。基于1作为某个遗传类的成员，并不能断言0也是它的成员，这些遗传类之间是不同的。
而归纳类和遗传类的区别，前者以后者并且包含0作为成员为定义。这样，最后一句每一个归纳类，似乎是前面诸多遗传类各自所从属的归纳类，作为一个指称词组，事实上它们意谓同一个归纳类，就是（0 1 2 ···）。

2 后代
给定一自然数,有许多遗传类包含这已知数,这些类所有的分子我们就定义为对于“直接前趋”(immediate predecessor)关系(也就是“后继”关系的逆关系)而言的，这已知数的“后代”(posterity)，或说，由“直接前趋”这一关系而有的这已知数的“后代”。-个自然数的后代包含它自己和所有较它大的自然数，这是很容易看出的,但是我们还不曾正式证明。

这段看到有一个基于外延对于一种类的定义。这些类所有的分子我们就定义为对于“直接前趋”(immediate predecessor)关系(也就是“后继”关系的逆关系)而言的，这已知数的“后代”(posterity)，或说，由“直接前趋”这一关系而有的这已知数的“后代”。而直接前趋 这个关系，是基于内涵定义的一个概念。这些分子作为这已知数的后代。
在这里，直接前趋这个关系作为后继的逆关系，是用来定义后代的东西，而非受定义的东西。

后继
这个概念来源于这本书开头引用的皮亚诺的论证。罗素在这章开头明说这先不考虑0 和 后继 的定义，先假定我们值到它们的意义，在一种日常语法上，在加一得到的数的意义上，2是1的后继。罗素定义 1为0 的后继，2为1的后继。

回到前面这段话，它是对于后代的定义。后代基于一方面是给定一自然数,有许多遗传类包含这已知数,这些类所有的分子，另一方面是作为后继关系的逆关系的直接前趋关系，被定义。前者作为后者关系而言者已知数的后代。后代的理解基于一种关系的给出。
理解的困难在于，后继是加一的用法，给出一个一个分子或数，直接前趋作为其逆关系。

We will defne the “ posterity’, of a given natural number with respect to the relation “ immediate predecessor ’(which is the converse of“successor ’)as all those terms that belong to every hereditary class to which the given number belongs. It is again easy to see that the posterity of a natural number con-sists of itself and all greater natural numbers ; but this also wedo not yet oficially know.

我们把给出一个数的后代 定义为 属于每个继承类的所有项，这个数和它(这些项的聚合作为基于外延所定义的一个类）具有直接前趋关系。
这里的belongs从属于那个直接前趋关系
the relation “ immediate predecessor ’
as
all those terms that belong to every hereditary class
to
which the given number belongs.

系词as指出处于直接前趋关系的不同项：a to b，它们所构成的这个关系的内容。
这里a：all those terms that belong to every hereditary class ，作为关系的前域，其后域which the given number belongs指的是这个外延类所属于的直接前趋这个关系下的一个数。

联系英文，
all those terms that belong to every hereditary class
可以看到翻译的问题在于把原意中，属于每个遗传类的所有分子，它突出这些遗传类的共同的部分、析取（交集），不恰当地说成 这些遗传类所有的分子（合取）。是并且 和 或关系的区别，析取和合取关系的区别。
这样，一个数的后代，指的是比它大的自然数的集合。而中文错误的翻译结果，一个数的后代指的是同一个归纳类。

按照上面的定义，0的后代由属于每一个归纳类的项所组成。现在不难明了,它就是从0起,通过接连的步骤从一个到次一个所得到的那些项形成的类。
It is now not difcult to make it obvious that the posterity of 0 is the same set as those terms that can be reached from 0 by successive steps from next to next.

按英文，0 的后代就是那同一个系列（类），它由可以从0开始的其后继的一步接一步的所有项所组成。这里没有 每一个归纳类 这样的表述。译者对于归纳类的理解有问题。
或者，这里的“每一个”，改写为 “同一个” 就恰当了。

补第二章一些基础定义
相似
如果有一个一对一的关系，使一类中的每一项与另一类中的一项对应，如象婚姻关系使丈夫与妻子对应一样，则称这两类“相似”(similar)。

关系的前域
下面儿个辅助定义将帮助我们更准确地把这个定义陈述出来:
我们说,所有与别的东西有某给定关系的各项所形成的类叫做这关系的前域(domai):因此父亲是父子关系的前城，丈夫是大妻关系的前域,妻子是妻子对丈夫的关系的前域,而丈夫与妻子一起是婚姻关系的前域。

逆关系
妻子对丈夫的关系是丈夫对妻子的关系的逆关系(converse)。同样,小于是大于关系的逆关系，后于是先于关系的逆关系,等等。

一个关系的就是其逆关系的后域
一般地,无论何时x与y之间有某种给定的关系,这种关系的逆关系就是y与x之间的那种关系。X一个关系的后域(conversedomain)就是它的逆关系的前域:所以妻子这一类是丈夫对妻子的关系的后域。现在我们陈述相似的定义如下:
所谓一类“相似”于另一类，就是在它们之间有一个一对一的关系,一类是这关系的前域,另一类是它的后域。

以下几点是很容易证明的:
(1)每一类都相似于它自己，(2)如果一类a相似于一类β，那么β相似于α,(3)假使a相似于β,面且β相似于γ，那么α相似于γ。一个关系当它具有这些性质中的第一种时，称为是自反的(reflexive)，具有第二种性质时称为对称的(symmetrical)，具有第三种时称为传递的(transitive)。显而易见，一个既是对称的又是传递的关系在它的整个域中必也是自反的。具备这些性质的关系是很重要的一种关系，值得注意的是:相似就是这种关系中之一。

如果两个有穷类相似，它们必有相同的项数，否则，就没有相同的项数，这一点对于普通常识是很显然的。计数的动作就是在17被数的一类事物与用以数物的自然数(除去0)之间建立-一对应的关系。于是普通常识得出结论，在被数的一类事物中所有事物的数目与用于计数中直到最后一数所有的那么多的数相等。

一个类的数是所有与之相似的类的类。