12.逗号范畴

现在给出一种由给定范畴构建新范畴的普遍方法。这种方法在本书中会经常用到。

考虑两个函子F：A--C，G：B--C，逗号范畴定义为：

1.对象是三元组（A，f，B），A∈A，B∈B，f：FA--GB∈C

2.态射是序对（a，b）使交换图交换，a:A--A',b:B--B'，分别为范畴A，B中的态射。

3.复合按分量定义

对于逗号范畴（F，G），有两个函子，以及一个正规自然变换。整个命题都在交换图上表示出来了。（F，G）的两个投影函子，到达生成他的两个范畴，这两个范畴本身又由选定的函子指向同一个范畴C，诱导出了一个自然变换，是范畴C中的态射。

这个图是一种结构，是许多数学对象满足的图，但是，不附加内容，仅仅从形式上看，实在是空洞无物，不知所云，所以初学范畴论需要大量的例子来填充。

当存在另一个范畴D满足这个交换图时，在（F，G）和D之间就存在一个函子，可经由这个函子使图交换。

这种性质称之为万有性质，这是因为范畴D在满足这些基本条件下可以是任意的，没有更多的约束。

逗号范畴的一个重要特例是，元素范畴。

下图大致说明了这种万有性质。

考虑范畴A到集合范畴的一个函子，F的元素范畴定义为：

1.对象是序对（A，a），A∈A是范畴A的一个对象，a∈FA是对象FA的一个元素

2.态射是范畴A中的箭头f：A--B并且满足Ff（a）=b

3.复合就是范畴A中的复合

？？什么意思呢，干什么用的呢。也就是说，FA中的每个元素都可看作一个箭头。例如： $f：(A,a)\to (A,a’)$

记1为单对象范畴，则函子1将这唯一的对象映为单点集。也就是说范畴1可视为单点集生成的范畴的满子范畴。由于FA中的一个元素可以视为单点集到FA的射，元素范畴实际上就是一个逗号范畴。而遗忘函子就定义为对元素的遗忘，仅仅保留集合关系。

两个范畴的积是新的范畴：

1.对象，范畴A，B的对象组成的序对

2.态射，范畴A，B的态射组成的序对

3.复合，范畴A，B的复合诱导的，并按分量定义

就是前面交换图的特例，将逗号范畴具体化为积范畴。

万有性质，下面是个示意图。

考虑单对象的常值函子，1范畴只有一个射，所以逗号范畴同构于积范畴。

术语，定义在积范畴上的函子常称之为双函子，有两个变量的函子。

就到这了，今天有点急躁了，整个一节的内容强行看完，遗留了很多问题。元素范畴所谓的元素和射的关系没弄清楚，还有很多地方借着之前的记忆一带而过，没有去思考。还是要慢慢来。