抽象代数汇总——数学竞赛

第五届：设群G=AB，其中A,B均为G的Abel子群，且AB=BA,\forall g_1,g_2\in G用[g_1,g_2]表示换位子，即，[g_1,g_2]=g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1},G'表示G的换位子群（即由G的换位子所生成的子群）证明：
(a)\forall a,x\in A,\forall b,y\in B有下式成立：
[x^{-1},y^{-1}][a,b][x^{-1},y^{-1}]^{-1}=[a,b]
(b)G'为Abel群
第六届：设R为[0,1]上的连续函数环，其加法为普通的函数加法，乘法为普通的函数乘法。I为R的一个极大左理想。证明：\forall f,g\in I,f与g在[0,1]上必有公共的零点。
第七届：设u_1,v_1,u_2,v_2为群G中的元素，满足u_1v_1=v_1u_1=u_2v_2=v_2u_2，若u_1,u_2的阶均为8，v_1,v_2的阶均为13.证明：u_1u_2的阶为4及v_1v_2的阶为13
第八届：设(F,+,·)是特征为p(p\not=0)的域。1和0分别为F的单位元和零元。若\varphi为其加群(F,+,·)到其乘法半群(F,·)的同态，即\forall x,y\in F有\varphi(x+y)=\varphi(x)\varphi(y)证明：\varphi要么将F的所有元映照为0，要么将F的所有元映照为1
第九届：设G为群，且满足：\forall x,y\in G,(xy)^2=(yx)^2证明：\forall x,y\in G元素xyx^{-1}y^{-1}的阶不超过2

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