大单元教学——《一元二次方程》
弘金地学校 初中部 姜鑫
【单元内容】：
从实际问题中抽象出一元二次方程，再探究一元二次方程的不同解法，最后再运用一元二次方程解决时间问题。
课标要求：
能根据一元二次方程的特征，选择配方法、公式法、因式分解法解数学系数的一元二次方程；
会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根及两个实根是否相等，会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系；
知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题；
能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。建立模型观念。
【单元学情】：
学生已经掌握了一元一次方程的解法和应用，具备用代数式表示数量关系了能力；学习了分式方程，知道方程是刻画现实问题的有效数学模型；学生在学习分式方程的时候知道利用不等式的性质将分式方程化为一元一次方程，具备转化数学思想。
【单元目标】
积累从现实问题中抽象出数量之间的相等关系并加以表示的经验
领悟用一元二次方程刻画数量关系的意义和作用
能给个用多种方法求解一元二次方程，体会转化思想
会用一元二次方程解决实际问题，进一步体会模型思想
【达成评价】
能从生活情境、数学请假中抽象概括出一元二次方程的概念和规则，掌握一元二次方程的解法，合理介绍运算结果，形成一定的运算能力、推理能力和抽象能力；
能从具体的生活与科技情境中，抽象出函数、方程、不等式等数学表达形式，用数学的眼光发现问题并提出（或转化为）数学问题，用数学的思维探索、分析和解决具体情境中的现实生活问题，给出数学描述和解释，运用数学的语言与思维方法，综合运用多个领域的知识，提出设计思路，制定解决方案。能够在解决问题的过程中选择合适的方法进行评估，并对结果的实际意义作出解释。能够知道解决问题方法的多样性，具备一定的应用意识和模型意识，初步会用数学语言表达与交流。
感悟数学的价值，能够从问题解决的过程中获得数学活动经验，产生对数学的好奇心和求知欲，增强学习数学的兴趣，简历学习数学的自信心。能够在解决问题的过程中，学会独立思考、合作探究，形成批判质疑、克服困难、勇于担当的科学精神，具备一定的创新意识。
【单元整体设计思路】
【教材课时设计】
| 第1课时 | 认识一元二次方程 |
| 第2课时 | 配方法解一元二次方程 |
| 第3课时 | 公式法解一元二次方程 |
| 第4课时 | 因式分解法解一元二次方程 |
| 第5课时 | 一元二次方程的根与系数的关系 |
| 第6课时 | 一元二次方程的实际应用 |
整合课程结构，将一元二次方程的根与系数的关系与公式法解一元二次方程课时进行整合，让知识自然的发生，也让学生体会根与系数的关系与解方程的紧密联系，因此本单元课程改为5课时，同时利用第3课时的方案设计引出本章学习，让学生根据实际问题产生的困难来开展本节课学习，一点点攻克章首课问题，让本单元形成一个完整的项目式学习过程，教学过程如下：
【课时教学设计】
第1课时：认识一元二次方程
教学目标：
1、能够从实际问题中抽象出数量之间的相等关系，并能够用方程表示；
2、知道什么是一元二次方程，能够初步判断方程的解。
教学过程：
提出问题：学校要在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园的面积为荒地面积的一半，你能够给出设计方案吗？
学生活动1：小组合作，在矩形纸片中设计图案，将其中一个未知量设为x，尝试用含x的等式表示等量关系。
学生活动2：小组展示设计成果，并列出含x‘的方程，
学生设计的有正方形，长方形，圆形，等边三角形，正六边形……的花坛，并列出对应方程。
教师引导学生对所列方程进行分类，可以发现所列的方程中存在一个未知数，并且未知数的次数为2，根据以往的经验，总结归纳一元二次方程定义，化简方程，引入一元二次方程一般形式（ax² + bx + c = 0）。
学生活动2：10分钟完成书中随堂练习和习题2.1，5分钟小组讨论，分组展示学习成果
学生活动3：学生总结归纳本节课的收获（从知识，能力，方法等多维度展示）
教学反思：
本节课旨在通过活动设计让学生发现学习一元二次方程的必要性，同时也让学生意识到数学来源于生活，因为在解决问题的过程中发现了未知的知识，因此探究一元二次方程的解法就显得尤为自然，本章接下来的学习将紧密围绕如何解方程展开。
第2课时：配方法解一元二次方程
教学目标：
通过转化的思想，将一元二次方程利用直接开平方方法转化为一元一次方程
能够用配方法解一元二次方程。
教学过程：
提出问题：收集第一课时学生设计的花坛方程，思考你会解哪些方程？
活动一：小组讨论怎么样解下列方程
X2=5 2x2+3=5 x2+2x+1=0 (x+6)2+49=100①
根据上面方程的解法，讨论怎样解方程：x2+12x-15=0②
学生通过讨论得出，可以利用完全平方公式将方程②转化为方程①的形式，再直接开平方
教师引导总结，像这样的方法叫做配方法解一元二次方程，并板书解题格式。
活动二：学生完成数学书随堂练习和习题2.3内容，巩固解方程的方法和步骤，小组内互相批改纠错，
活动三：学生展示本组的典型错误，全班共同点评和总结解方程的易错点
活动四：思考如何解方程3x2+8x-3=0？能否像刚刚一样转化为你会解的方程类型？
学生独立思考1分钟后小组讨论交流想法，共求出方程的解。
活动五：完成数学书隋唐练习内容
活动六：学生总结归纳本节课的收获（从知识，能力，方法等多维度展示）
教学反思：
本节课从学生熟悉的平方根算起，学生通过类比思想，逐步发现一元二次方程均可化为形如x2=m的形式，从而通过直接开平方的方式进行求解，学生在这个过程中掌握了将未知知识转化为已知知识的化归思想，同时也为下一节课公式法的学习做好铺垫。
第3课时：公式法解一元二次方程
教学目标：
经历用配方法解一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程，从而认识一元二次方程根的判别式和求根公式；
会用批判的眼光看待代数推理过程，体会分类讨论在数学学习中的重要作用。
会用公式法求一元二次方程的解
知道一元二次方程根与系数的关系
教学过程
提出问题：回顾第一课时收集的方程，让学生利用配方法求出所有方程的解（分组进行），这些方程的求解过程都是一样的，我们大胆尝试，能否用配方法求ax2+bx+c=0（a≠0）的解？
学生活动1、小组合作尝试用配方法求ax2+bx+c=0（a≠0）的解。
一个小组展示解题过程，其他小组提出问题。
问题1、若a=0会怎么样？
问题2、一元二次方程一定有解码？
问题3、为什么要规定b2+4ac≥0？
问题4、若b2+4ac<0时会怎么样？
教师总结归纳求根公式，根的判别式，以及根的判别式与根之间的关系。
活动2，利用公式法求解下列方程：
（1）x2-2x+1=0 （2）x2-2√3 x-1=0 （3）2x2-3x+1=0
（2）求上述方程的两根之和，观察并猜想它与系数有什么关系？两根之积呢？
活动3，讨论，是否对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立？
学生通过讨论交流，利用求根公式发现一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根之和为
x1+x2=-b/a x1·x2=c/a
活动3、学生完成数学书P50随堂练习2，由于一元二次方程直接带入检验计算量较大，通过讨论发现快速检验一元二次方程根的正确性可以利用根与系数的关系。
活动4、简单应用：问题：某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另外三边用木栏围成，木栏长40m。
鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m2吗？
鸡场的面积能达到250m2吗？
如果能请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
学生先独立思考完成，后小组交流，思考有没有更简单的方法求解方程？
活动5、学生总结归纳本节课的收获（从知识，能力，方法等多维度展示）
教学反思：
本节课通过发现一元二次方程的解法的通法，尝试将特殊一般化，经历特殊到一般的常用数学研究方法，通过解一元二次方程的一般式，让学生发现数学变化中的不变，让学生进一步体会代数推理，同时培养学生严谨的思维，在代数推理中所遇到的各种情况需要分类讨论，因此本节课注重培养学生的数学思维，同时自然的引入一元二次方程根与系数的关系，也让学生初步体会这个关系的“便利”之处，和以往的教学将两个课时割裂开，不仅让知识自然的生成，，同时也让学生体会到对代数推理的必要性。
第4课时：因式分解法解一元二次方程
学习目标：
会用因式分解法解特殊形式的方程。
体会不同方法解方程的优缺点，能够熟练的运用不同的方法解一元二次方程
了解解一元二次方程的基本思想是“降次”，从而像分式方程一样将一元二次方程转化一元一次方程。
教学过程：
问题提出：在利用方程解决实际问题的时候，往往会遇到比较难解的方程，除了公式法和配方法以外还有没有更加简单的解法呢？我们来看一下下面三位同学的做法
活动1、小组交流，他们做的对吗？为什么？你是怎么做的？对你有什么启发？
学生交流后展示如果一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解因式，可以用第三位同学的解法。
教师归纳：像这种解方程的方法叫做因式分解法。
活动2、观察下列方程，哪些可以利用因式分解法解方程？如果能请你把它解出来
（1）5x2=4x (2)x(x-2)=x-2 (3)x2-4=0 (4)(x+1)2-25=0 （5）x2+5x-6=0
学生先独立思考，后小组交流，发现以上所有方程均可以采用因式分解的方式求解，但是因式用提公因式法和十字相乘法会让解方程的难度降低，但是公式法反而有点麻烦，学生不仅掌握了因式分解法，同时还掌握了因式分解法的适用条件，
活动3、活动：解方程大比拼
6道解方程的题目，学生计时比赛看谁算的又快有准
学生快速解方程，最后请解的快的同学来分享自己为什么可以算的又快有准，然后小组讨论，如何选择适当的方法解方程。
活动4：学生总结归纳本节课的收获（从知识，能力，方法等多维度展示）
教学反思：
本节课是在学生通过练习了多种方程后进行的，在学生作业中可以发现学生已经掌握了配方法和公式法解方程，但是不难听到学生“抱怨”方程太难解，本节课的发生就显得尤为重要了，学生通过本节课的学习，相当于发现了一元二次方程解法中的“简便运算”，为接下来在实际问题中寻找简便方法求解方程打下来基础。
第5课时：应用一元二次方程
学习目标：
会构建一元二次方程模型解决实际问题
会灵活选用不同的方法解方程
感受数学来源于生活又服务于生活的理念
教学过程：
活动1、解决运动问题
例1 如图2-8,某海军基地位于A处， 在其正南方向200n mile处有一重要目标B， 在B的正东方向200nmile处有一重要目标C. 小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰. 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相请于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1n mile) 解:连接DF.
独立思考后小组分享解决成果
活动2、
例2 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元.调查发现，当销食价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元每台冰箱的定价应为多少元？
独立思考后小组分享解决成果
教师补充方法指导，题目中的量比较多的时候要利用图表来帮助分析题目中的已知量和未知量。
活动3、学生总结归纳本节课的收获（从知识，能力，方法等多维度展示）
教学反思：本节课在基于学生已经掌握了一元二次方程的解法后进行探讨，选用行程问题，和利润问题为背景，比较贴合学生的生活实际，在运动过程中寻找等量关系，在利润问题中寻找各变量之间的关系，利润问题中各变量之间的变化关系，让学生感受正确找到已知量和未知量之间的等量关系是利用方程模型解决实际问题的关键
以上教学案例是基于新课标提倡项目式学习过程，将一个实际问题拆分，在不同阶段学生遇到不同问题，学生通过独立思考和小组合作的方式，让学生充分体会到一元二次方程学校的必要性，课堂重视多远评价，力求让每一个学生都成为课堂的参与者，教师在课堂教学中起到引领作用，利用问题串，任务链，活动设计，让学是通过自主学习的方式一点点探索未知的知识。
