线性代数及其应用第5版（David C. Lay）笔记
第1章 线性代数中的线性方程组
1.2行化简与阶梯形矩阵
行化简算法（也称行消去法）
行化简算法可以用来解任意线性方程组，判断解的存在与唯一性问题。
定义
非零行的先导元素
阶梯型（或行阶梯型）矩阵
简化阶梯型（或简化行阶梯型）矩阵
定理：每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。
任何非零矩阵都可以行化简（即用初等行变换）变为阶梯形矩阵，但用不同的方法可化为不同的阶梯形矩阵.然而，一个矩阵只能化为唯一的简化阶梯形矩阵。RREF：简化（行）阶梯形，REF：（行）阶梯形
定义
主元位置
主元列
主元
行化简算法（1-4步产生阶梯形矩阵，第5步产生简化阶梯形矩阵）
第一步，由最左的非零列开始.这是一个主元列，主元位置在该列顶端；
第二步，在主元列中选取一个非零元素作为主元，若有必要的话，对换两行使这个元素移到主元位置上；
第三步，用倍加行变换将主元下面的元素变成0；
第四步，暂时不管包含主元位置的行以及它上面的各行，对剩下的子矩阵使用上述的三个步骤直到没有非零行需要处理为止；
第五步，由最右边的主元开始，把每个主元上方的各元素变成0，若某个主元不是1，用倍乘变换将它变成1。
（一至四：向前步骤，五：向后步骤）
线性方程组的解
定义
基本变量
自由变量
用简化阶梯形解线性方程组：用自由变量表示基本变量得到方程组的通解
解集的参数表示：自由变量作为参数，用自由变量表示基本变量。当一个方程组是相容的，且具有自由变量，则它的解集具有多种参数表示。
计算机程序常用回代法解线性方程组
存在与惟一性问题
通过非简化的阶梯形可以回答线性方程组的2个基本问题。
定理：存在与惟一性定理
线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列。就是说，增广矩阵的阶梯形没有形如 [0 …0 b] b≠0 的行，若线性方程组相容，它的解集可能有两种情形：（i）当没有自由变量时，有惟一解；（ii）若至少有一个自由变量，有无穷多解。
应用行化简算法解线性方程组的步骤：
- 写出方程组的增广矩阵.
- 应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形.确定方程组是否有解，如果没有解则停止; 否则进行下一步.
- 继续行化简算法得到它的简化阶梯形・
- 写出由第3步所得矩阵所对应的方程组•
- 把第4步所得的每个方程改写为用自由变量表示基本变量的形式,
练习题
1.求出下列增广矩阵对应的方程组的通解
导入linear_algebra模块,通过transform_matrix函数对增广矩阵进行初等变换。
import numpy as np
from linear_algebra import *
a=np.array([[1,-3,-5,0],[0,1,-1,-1]]);a
array([[ 1, -3, -5, 0],
[ 0, 1, -1, -1]])
b=transform_matrix(a,-3,1,0,3);b
array([[ 1., 0., -8., -3.],
[ 0., 1., -1., -1.]])
增广矩阵共4列，说明有3个未知数，写出化简后的线性方程组如下：
方程组的解为：
2.求方程组的通解
a=np.array([[1,-2,-1,3,0],[-2,4,5,-5,3],[3,-6,-6,8,2]]);a
array([[ 1, -2, -1, 3, 0],
[-2, 4, 5, -5, 3],
[ 3, -6, -6, 8, 2]])
b=transform_matrix(a,-3,0,1,2);b
array([[ 1., -2., -1., 3., 0.],
[ 0., 0., 3., 1., 3.],
[ 3., -6., -6., 8., 2.]])
c=transform_matrix(b,-3,0,2,-3);c
array([[ 1., -2., -1., 3., 0.],
[ 0., 0., 3., 1., 3.],
[ 0., 0., -3., -1., 2.]])
d=transform_matrix(c,-3,1,2,1);d
array([[ 1., -2., -1., 3., 0.],
[ 0., 0., 3., 1., 3.],
[ 0., 0., 0., 0., 5.]])
可以看出方程组不相容
习题1.2
求通解
a=np.array([[1,3,4,7],[3,9,7,6]]);a
array([[1, 3, 4, 7],
[3, 9, 7, 6]])
b=transform_matrix(a,-3,0,1,-3);b
array([[ 1., 3., 4., 7.],
[ 0., 0., -5., -15.]])
c=transform_matrix(b,-1,1,0,-1/5);c
array([[1., 3., 4., 7.],
[0., 0., 1., 3.]])
d=transform_matrix(c,-3,1,0,-4);d
array([[ 1., 3., 0., -5.],
[ 0., 0., 1., 3.]])
可以看出解是：
a=np.array([[1,4,0,7],[2,7,0,10]]);a
array([[ 1, 4, 0, 7],
[ 2, 7, 0, 10]])
b=transform_matrix(a,-3,0,1,-2);b
array([[ 1., 4., 0., 7.],
[ 0., -1., 0., -4.]])
c=transform_matrix(b,-3,1,0,4);c
array([[ 1., 0., 0., -9.],
[ 0., -1., 0., -4.]])
d=transform_matrix(c,-1,1,0,-1);d
array([[ 1., 0., 0., -9.],
[ 0., 1., 0., 4.]])
可以看出，方程组的解是：是自由变量。
10.直接写解的过程，约定a是要解的方程组的增广矩阵，通过np.array函数初始化。
a=np.array([[1,-2,-1,3],[-3,-6,-2,2]]);a
array([[ 1, -2, -1, 3],
[-3, -6, -2, 2]])
b==transform_matrix(a,-3,0,1,3);b
array([[ 1., 4., 0., 7.],
[ 0., -1., 0., -4.]])
c=transform_matrix(b,-3,1,0,4);c
array([[ 1., 0., 0., -9.],
[ 0., -1., 0., -4.]])
d=transform_matrix(c,-1,1,0,-1);d
array([[ 1., 0., 0., -9.],
[ 0., 1., 0., 4.]])
可以看出，解是是自由变量。
a=np.array([[1,-7,0,6,5],[0,0,1,-2,-3],[-1,7,-4,2,7]]);a
array([[ 1, -7, 0, 6, 5],
[ 0, 0, 1, -2, -3],
[-1, 7, -4, 2, 7]])
b=transform_matrix(a,-3,0,2,1);b
array([[ 1., -7., 0., 6., 5.],
[ 0., 0., 1., -2., -3.],
[ 0., 0., -4., 8., 12.]])
c=transform_matrix(b,-3,1,2,4);c
array([[ 1., -7., 0., 6., 5.],
[ 0., 0., 1., -2., -3.],
[ 0., 0., 0., 0., 0.]])
可以看出方程组的解是是自由变量。
