双曲线：2017年全国卷B题9

若双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b \gt 0)$ 的一条渐近线被圆 $(x-2)^2+y^2=4$ 所截得的弦长为 $2$ ，则 $C$ 的离心率为

$A.2 \qquad B.\sqrt{3} \qquad C.\sqrt{2} \qquad D.\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

【解析】

根据圆的方程可知：圆心坐标为 $(2,0)$ , 半径 $R=2$

弦长为 $2$ ，表明：圆心与渐近线的距离为 $\sqrt{3}$

双曲线 $C$ 的渐近线方程为： $y=\pm \dfrac{b}{a}x$

圆心在 $x$ 轴上，与两条渐近线的距离相等。取斜率为负的一条，其标准方程为 $ay+bx=0$

由距离公式可得：

$\dfrac{4b^2}{a^2+b^2}=3 \Rightarrow b^2=3a^2$

$\Rightarrow c^2=4a^2 \Rightarrow e=\dfrac{c}{a}=2$

结论：选项A正确。

【提炼与提高】

本题将双曲线与圆作了一个综合，难度中等。

涉及圆的问题，一般有两条思路可选：几何路线和代数路线。就本题而言，较为便捷的解法是：依据勾股定理，利用弦长和半径算出圆心与渐近线的距离，再利用距离公式列出方程。

「2017年全国卷A题15」与本题高度相似，请注意比较。

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