双曲线：2017年全国卷A题15

双曲线：2017年全国卷A题15

已知双曲线 C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b \gt 0) 的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M,N 两点. 若 \angle MAN=60° ，则 C 的离心率为 \underline{\mspace{100mu}} .

【解析】

有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形，所以，\triangle MAN 是等边三角形。

所以，点 A 到直线 MN （渐近线）的距离为 \dfrac{\sqrt{3}}{2} b

记渐近线的倾角为 \alpha, 则 \sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}b}{2} \cdot \dfrac{1}{a}

\sin^2\alpha=\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{b^2}{a^2}

\dfrac{1}{\sin^2\alpha} = \dfrac{1}{\tan^2\alpha} +1

\tan^2\alpha=k^2=\dfrac{b^2}{a^2}

\dfrac{a^2}{b^2}+1 = \dfrac{4}{3} \dfrac{a^2}{b^2}

a^2=3b^2 \Rightarrow c^2=\dfrac{4}{3}a^2

所以 e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{3}\sqrt{3}

【提炼与提高】

以上解答过程采用了『转化』的基本策略。

由已知条件中的圆推出 \triangle AMN 两腰相等，再结合 \angle MAN=60° 得出结论： \triangle AMN 是等边三角形。进一步得出：A 点 与渐近线的距离等于 \dfrac{\sqrt{3}}{2}b

相当于把原问题简化成为这样一个较为单纯的问题：

双曲线的右顶点 A 与渐近线的距离等于 \dfrac{\sqrt{3}}{2}b，求双曲线的离心率。

之后，再利用三角恒等式列出方程，迅速地算出结果。

假如用距离公式来列方程，也是可以的。但在本题中，|OA|=a. 有了这个已知条件，用三角函数计算会更方便一些。

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