双曲线：2017年全国卷A题15

已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt 0, b \gt 0)$ 的右顶点为 $A$ ，以 $A$ 为圆心， $b$ 为半径作圆 $A$ ，圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M,N$ 两点. 若 $\angle MAN=60°$ ，则 $C$ 的离心率为 $\underline{\mspace{100mu}}$ .

【解析】

有一个角是 $60°$ 的等腰三角形是等边三角形，所以， $\triangle MAN$ 是等边三角形。

所以，点 $A$ 到直线 $MN$ （渐近线）的距离为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2} b$

记渐近线的倾角为 $\alpha$ , 则 $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}b}{2} \cdot \dfrac{1}{a}$

$\sin^2\alpha=\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{b^2}{a^2}$

$\dfrac{1}{\sin^2\alpha} = \dfrac{1}{\tan^2\alpha} +1$

$\tan^2\alpha=k^2=\dfrac{b^2}{a^2}$

$\dfrac{a^2}{b^2}+1 = \dfrac{4}{3} \dfrac{a^2}{b^2}$

$a^2=3b^2 \Rightarrow c^2=\dfrac{4}{3}a^2$

所以 $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{3}\sqrt{3}$

【提炼与提高】

以上解答过程采用了『转化』的基本策略。

由已知条件中的圆推出 $\triangle AMN$ 两腰相等，再结合 $\angle MAN=60°$ 得出结论： $\triangle AMN$ 是等边三角形。进一步得出： $A$ 点与渐近线的距离等于 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}b$

相当于把原问题简化成为这样一个较为单纯的问题：

双曲线的右顶点 $A$ 与渐近线的距离等于 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}b$ ，求双曲线的离心率。

之后，再利用三角恒等式列出方程，迅速地算出结果。

假如用距离公式来列方程，也是可以的。但在本题中， $|OA|=a$ . 有了这个已知条件，用三角函数计算会更方便一些。

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