1.3 n元对称群

在 $S_5$ 中，设
$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 1 & 5 & 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}.$
(1) 求 $\sigma\tau, \tau\sigma$ ；
【解答】
$\sigma\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 3 & 5 & 1\end{pmatrix}$

$\tau\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 2 & 5 & 3\end{pmatrix}$
根据上面这个例子我们可以发现 $S_5$ 不是一个交换群。

【注意】即使上面两个例子算出的结果相同，我们也不能说， $S_5$ 是一个交换群。因为交换群要任意两个元素都交换才可以。

(2) 分别写出 $\sigma, \tau$ 的轮换分解式；
【注释】：轮换分解式就是要把它分解成不相交的轮换的乘积。

$\sigma = (1 \ 3 \ 5 \ 4 \ 2 )$
$\tau = (1 \ 4 \ 3 ) (2 \ 5)$

(3) 求 $\sigma^{-1}, \sigma\tau\sigma^{-1}$ ；
$\sigma^{-1} = (1 \ 2 \ 4 \ 5 \ 3 )$
$\sigma\tau\sigma^{-1} = (2 \ 5 \ 3 ) (1 \ 4)$

(4) 分别写出 $\sigma, \tau$ 的一种对换分解式；

$\sigma = (1 \ 2)(1 \ 4 )(1 \ 5)(1 \ 3 )$
$\tau = (1 \ 3)(1 \ 4)(2 \ 5)$
(5) 说出 $\sigma, \tau$ 是偶置换，还是奇置换。
【解答】 $\sigma$ 是偶置换， $\tau$ 是奇置换，因为 $\sigma$ 分解成了偶数个对换的乘积，但是 $\tau$ 分解成了奇数个。

【注释】由此可见 $S_5$ 上的单位元：也就恒等变换，是属于偶置换的，进一步我们可以知道， $S_5$ 上所有的偶置换可以构成一个群，但是奇置换不行，一方面是因为奇置换不包含单位元，另一方面是它不具有封闭性。两个奇置换的乘积变成了偶置换。

在 $S_n$ 中，设 $\sigma = (i_1 i_2 \cdots i_r)$ ，证明：对于任意 $\tau \in S_n$ ，有
$\tau\sigma\tau^{-1} = (\tau(i_1) \quad \tau(i_2) \quad \cdots \quad \tau(i_r)).$

【证明】：我们知道，根据轮换表达式：在 $k \leq r -1$ 的时候我们有 $\sigma(i_k) = i_{k+1}$ ,而 $\sigma(i_r) = i_1$ .

情况①对于 $\tau(i_k) \in \{i_1 ,i_2, \cdots, i_r\}$ .
我们有 $(\tau \sigma \tau^{-1})(\tau (i_k)) = \tau \sigma(i_k) = \tau(i_{k+1})$ [当然我们需要额外地说明 $k = r$ 的情况，这也是非常显然的。]

情况②对于 $\tau(a)^{-1} \notin \{i_1 ,i_2, \cdots, i_r\}$ . $\sigma$ 作用在他们上面不起作用。因此 $\tau \sigma \tau^{-1}(a) = a$ 不变。

综上就证明了我们的命题成立

$\tau$ -轮换是偶置换还是奇置换，与 $\tau$ 的奇偶性有什么关系？

【解答】我们知道 $\tau$ -轮换的长度为 $n$ 时，就可以拆分成 $n-1$ 个对换，因本次让 $\tau$ - 轮换长度为偶数，他是奇置换，如果 $\tau$ -轮换长度为奇数，它是偶置换。

分别写出 $A_3, A_4$ 的所有元素(用轮换分解式表示)。
【解答】 $S_3$ 中有六个元素。 $S_4$ 中有 $24$ 个元素
因此 $A_3$ 中有三个元素，， $A_4$ 中有 $12$ 个元素。
证明：(1) $S_n = \langle (12), (23), \ldots, (n-1,n) \rangle$ ；
【证明】第一步：我们知道， $S_n$ 中所有的元素都可以写成对换的乘积。因此我们只需要证明所有的对换都在 $\langle (12), (23), \ldots, (n-1,n) \rangle$ 中即可。
显然对于任意的对换 $(k,k+r)$ y他都可以写成 $(k,k+1)(k+1,k+2)\cdots (k+r-1,k+r)$
命题得证。

(2) $S_n = \langle (12), (12\cdots n) \rangle$ 。
【证明】：利用第二题的结论。我们可以知道
$(2 \ 3) = (12\cdots n) (1 2) (12\cdots n)^{-1}$
以此类推，我们就可以得到 $(3 \ 4), (4 \ 5) \cdots (n-1,n)$
再根据第一问的结论。
命题得证。
证明：当 $n \geq 3$ 时， $A_n = \langle (123), (124), \ldots, (12n) \rangle$ 。

证明：显然我们只需要证明，任何一个三轮换都可以由题目给出的形式表示即可。
对于任意的一个三轮换 $(i,j,k)$
$(ijk) = [(1 i)(2 j)](12k)[(2j)^{-1}(1i)^{-1}]=[(12i)(12j)](12k)[(12i)(12j)]^{-1}$
都可以由题目给出的元素生成。
命题得证。

1.3 n元对称群

1.3 n元对称群

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