我们的生活中有很多不同类型的数，但是什么是实数呢？

实数它其实是有理数和无理数的一个统称，什么是有理数我们以前已经进行过一个探究了。

有理数可以分为整数和分数，而分数又可以分成有限小数和无限循环小数。

有理数其实就是可以用比表示的数。而且在我们分类有理数的时候在分数那里，我们应该对分数有一个定义。分母≠1，而且分子与分母要相互制。

有理数叫做rational number，而无理数就叫做irrational number，那无理数到底是个什么东西？它是怎样被我们发现的呢？

其实很简单，一个正方形的边长为一，那么它的对角线长为多少呢？我们可以很容易地运用我们已经学过的勾股定理，得知它的对角线就是√2。

那√2是多少呢？

我们可以合理的猜测，根号二并不是整数，因为根号2的平方就是二而一的平方是12的平方就已经到4了，而1和2之间并没有整数存在，所以根号2不是整数，那根号2可能是分数吗？

这里我们可以用反正法证明根号2是不是分数。

证明：

假设√2是分数

即√2=q/p

∴2=（q/p）²

2=q/p×q/p

2=q²/p²

2p²=q²

∴q²偶数

∴q也为偶数

设q=2n(n为整数）

2p²=4n²

p²=2n²

∴p为偶数

∴p也为偶数

p,q有共因数2（不互质） 与假设矛盾

√2不是分数

那既然根号二被我们推出不是分数也不是整数，那我们应该给他取一个新的名字，叫做无理数。

为什么叫做无理数呢？因为我们不能具体找到它在数轴上的位置。

我们假设a=√2，∴a²=2，∴√2<2。∵1.4²=1.96，1.5²=2.25我们只能推算出√2应该是在1.4~1.5之间的。

那我们可以确定他的几个小数位和整数位吗？

确定第1个整数位很简单，因为他在1和2的中间，所以，它的整数位一定是1，而它的10分位可以确定吗？也是可以的，因为1.4×1.4=1.96，小于2。而1.5×1.5=2.25>2。再往后的话我们可以继续算，1.42×1.42=2.0164>2了，所以我们往小猜一位，1.41×1.41=1.9881<2。我们当然可以继续算下去，但是我们现在应该想一想：a它有可能是有限小数吗？a有可能是循环小数吗？

有限小数当然是不可能的，因为a不是分数，而循环小数也是分数。

而这些三角形它的边长或是有一条是无理数或是有两条是无理数或者是三条都是无理数。

那我们来看一看，什么是平方根和立方根。

如果a的平方等于2，那么a等于几？

我们一定都会想到a=√2。但是只有这一种答案吗？并不是，应该是等于±√2。

因为√2的平方等于2，-√2的平方也等于2。

在我们说2的平方根是±√2的时候是正确的，但是还有另一种说法，或者说另一种相似而不同的方式。2的算术平方根是√2。

我们很明显的看出平方根和算术平方根是不一样的。因为算数平方根得出来的结果只是√2，平方根得出的结果却是±√2。

所以说算术平方根它具有非负性。

说完了平方根我们再来说说立方根。立方根不像平方根那样有算数，平方根和平方根两种，立方根只有一种。

就比如说2的立方等于8，那么有没有其他的一个数，它的立方也等于8？当然是有的，但是这两个数其实都是2，只不过是不同的表达方法而已。³√8是它的另一种表达方式。

立方根和平方根我们说完之后我们说一说估算。

估算一般用于我们的日常生活当中，我们举一个例子，当靠墙摆放梯子的时候，如果梯子的底部离墙的距离，约为梯子长度的1/3，那么妻子会立得比较稳定，而现在有一把长为6米的梯子，当这个梯子稳定摆放的时候，它的顶端可以达到5.6米高的墙头吗？

我们可以把墙与梯子想成一个直角三角形。这个直角三角形它的斜边是6米而一个直角边是6×1/3也就是两米（梯子底端到墙的距离），而另一个直角边是5.6米。

我们会用到我们学过的勾股定理：

AC²（AC为梯子长度）=AB²（ AB为墙的高度）-BC²（ BC为梯子底端到墙的距离）

AC²=36-4

AC²=32.

5.6的平方等于31.36，而31.36小于32，所以是可以的。

但是这只是我们日常生活中可以用到的一个估算，也就是靠我们的肉眼去判断。但是估算却并不能用来比大小，因为估算估出来的值并不是一个准确的值。

再来说根式。

什么是根式？

√5，√11，√7.2，√49/121，√（c+b）（c-b）（其中b=24，c=25）

观察这5个数我们会发现他有点像代数式。

所以我们叫他根式，但是我们这次学的根式只是二次根式。

那我们都知道，只要它是数，就可以进行加减乘除乘方以及混合运算。

那在他们进行加减运算的时候，其实和平时我们用到的运算率差不多。

√2+√2=2√2，√2+2√2=3√2。这其实就是在合并同类项。n√a+m√a=(m+n)√a（a≥0）这其实就是在用乘法分配律。

√a×√b=√ab（ a≥0, b≥0）

=（√a×√b）²

=（√a）²×（√b）²

=a×b

∴（√a×√b）²=（√ab）²

∴√a×√b=√ab

这是在用二次根式乘法法则。

二次根式除法法则也是一样的。

√a÷√b=√a/b（ a≥0, b≠0）

总结一下，就是根号下的数是开不尽的，而分母上是不能有根号的，根号下的数不能是分数。

这差不多就是我们探究的整个过程。