一.重要不等式: $a^2+b^2\geq 2ab(a\in R,b\in R)$

几何证明:赵爽弦图

这是由四个全等的直角三角形拼成的一个正方形,三角形的边长变化过程中,大家观察一下面积的关系.

设三角形的直角边为 $a$ 和 $b$ ,则根据勾股定理,斜边为 $\sqrt{a^2+b^2 }$ ,则正方形ABCD的面积为 $a^2+b^2$ ,四个直角三角形面积之和为 $\frac{1}{2}ab \times 4=2ab$ ,所以在变化过程中有一个横成立的不等式: $a^2+b^2\geq 2ab$ ,当且仅当 $a=b$ 时, $a^2+b^2=2ab$ ,这就是从几何图形来理解重要不等式.

代数证明

我们都知道任何实数的平方都是非负数,则 $(a-b)^2\geq 0$ 恒成立,完全平方式展开得: $a^2 -2ab+b^2\geq 0$ ,则 $a^2 +b^2\geq 2ab$ .当且仅当 $a=b$ 时,等号成立.

从这我们也知道,重要不等式的适用条件为 $a\in R,b\in R$ ,因为任何实数的平方都是非负数.

二.基本不等式:

$求和式:a+b\geq 2\sqrt{ab} (a>0,b>0)$

$求积式:ab\leq (\frac{a+b}{2} )^2 (a>0,b>0)$

(思考:基本不等式和重要不等式的关系和区别)

证明方法依然有很多种,我们采取类比重要不等式的证明方式,将 $(a-b)^2\geq 0$ 中的 $a替换为\sqrt{a} ,b替换为\sqrt{b}$ ,经过展开移项等到一个新的不等式: $a+b\geq 2\sqrt{ab}$ ,这就是基本不等式和重要不等式的关系,原理其实是一样的,取等条件也是一样的,只不过区别在于,重要不等式对任何实数都成立,而基本不等式变量改了一下,改成了 $\sqrt{a}$ 和 $\sqrt{b}$ ,意味着不再是任何实数了,范围现在应该是所有的正数,所以适用条件不一样,基本不等式必须在 $a>0,b>0$ 时成立.

这里还用到了一个很重要的变形方法----换元法.在适用范围无误的情况下你可以进行任意换元,就像刚刚 $a$ 原本是个实数,换成了 $\sqrt{a}$ 变成了正数,这里有学生会问,实数变成了正数,范围不是变了吗?但你想,所有的实数都适用,正数也是实数,所以正数也适用.

三.利用基本不等式求最值

使用时要满足三个条件:一正,二定,三相等

1.一正指的是,变量需要满足基本不等式适用条件,得是正数才能用这个公式.

2.二定强调的是最值的含义:积定和最小,和定积最大.

①如果 $ab$ 为定值 $P$ ,即变量的乘积为定值,则根据求和式 $a+b\geq 2\sqrt{P}$ ,那么 $a+b$ 有最小值 $2\sqrt{P}$

②如果 $a+b$ 为定值 $S$ , 即变量的和为定值,则根据公求积式得: $ab\leq \frac{S^2}{4}$ ,即 $ab$ 有最大值 $\frac{S^2}{4}$

3.三相等指的是能不能取到最值,是否满足取等条件:当且仅当 $a=b$ 时等号成立.

四.基础题型

例1.若把总长为 $20m$ 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_____ $m^2$ .

解析:设围成得矩形场地的长为 $x$ ,宽为 $y$ ,则面积为 $xy$

由题知: $2(x+y)=20,即x+y=10$

根据基本不等式则 $xy\leq (\frac{x+y}{2} )^2=25$ , 当且仅当 $x=y=5$ 时等号成立,

所以面积最大值为 $25$

例2.若 $a>0，b>0$ ,且 $ab＝4$ ,求 $a＋b$ 的最小值

解析:根据基本不等式: $a+b\geq 2\sqrt{ab}=4,$ 当且仅当 $a=b=2$ 时等号成立 ,即 $a＋b$ 的最小值为 $4$

总结:以上两题都是可以直接套用公式,且有两个变量,要么已知和为定值,要么已知积为定值的类型.有时候题目只有一个变量,又怎么处理?请接着往下看

例3.已知 $0<x<2$ ,求 $x(2-x)$ 的最大值

分析:因为 $0<x<2,$ 所以满足 $x与2-x$ 都为正数,符合基本不等式使用条件.

解析: $x(2-x)\leq (\frac{x+2-x}{2} )^2=1$ ,当且仅当 $x=2-x,$ 即 $x=1$ 时等号成立

总结:即使用公式时,只需要讲题目"和"或者"积"为定值的两个式子看作整体,一个看作 $a$ ,一个看作 $b$ ,套入基本不等式即可.

五.常考题型与方法

1.直接法

适用于:同上基础题型,最多的是上面类似第三题,题中没有两个变量,需要整体思想,看作是两个变量.

例1.已知 $x>0$ ,求 $y=x+\frac{1}{x}$ 的最小值

分析:题中 $x与\frac{1}{x}$ 互为倒数,所以乘积为定值 $1$ ,可以把 $x与\frac{1}{x}$ 看作求和式中的 $a与b$ 求解

解析: $x+\frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x} } =2$ ,当且仅当 $x=\frac{1}{x}=1$ 时等号成立,即最小值为 $2$

2.常数代换法("1"的妙用)

适用于:变量之和与变量倒数之和.即题中条件和问题往往一个是变量之和,另一个是变量的倒数和形式

例1.1已知 $ab>0,a+b=1$ ,则 $\frac{1}{a} +\frac{1}{b}$ 的最小值为______.

分析: $ab>0$ ,说明 $a与b$ 同号,又 $a+b=1,$ 所以 $a与b$ 只能是正数.符合基本不等式使用条件

解析: $\frac{1}{a} +\frac{1}{b} =(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} )\cdot 1=(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} )\cdot (a+b)$

$=1+\frac{b}{a} +\frac{a}{b} +1$

又因为 $\frac{b}{a} +\frac{a}{b} \geq 2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot \frac{a}{b}} =2,$ 当且仅当 $\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$ 时,即 $a=b=\frac{1}{2}$ 时,等号成立

所以 $\frac{1}{a} +\frac{1}{b} =1+\frac{b}{a} +\frac{a}{b} +1\geq 4$ ,即最小值是 $4$

总结:这种题型没办法直接使用基本不等式,这题问题是求和式,要使用基本不等式的话,需要乘积为定值,条件中给的也不是乘积为定值,所以没办法直接使用,但是通过常数"1"的代换,讲问题转化成了求 $\frac{b}{a} +\frac{a}{b}$ 的最小值问题,刚好互为倒数的两个变量乘积为定值,这时使用基本不等式可以求出最值.

例1.2已知 $x,y$ 为正实数,且 $x+y=3$ ,求 $\frac{1}{x+2} +\frac{1}{y+1}$ 的最小值____.

分析:这里要注意,题目问题的分母和条件不一样,需要统一变量,即 $x+y=3,$ 变形成 $(x+2)+(y+1)=6,$ 这样就和上一题是一样的, $x+2和y+1$ 类似上一题中的 $a$ 与 $b$ ,用同样的方法求解.

解析: $\frac{1}{x+2} +\frac{1}{y+1}=\frac{1}{6} (\frac{1}{x+2} +\frac{1}{y+1})[(x+2)+(y+1)]\geq \frac{1}{6}\times 4=\frac{2}{3}$

当且仅当 $x+2=y+1$ 时,即 $x=1,y=2$ 时等号成立

例2.已知实数 $a>0,b>0,a+b=1$ .则 $\frac{1}{a} +\frac{a}{b}$ 的最小值为______.

思考:能否使用同例1一样的方式求解?

分析:依然是无法直接使用公式,且不能用例题 $1$ 的方法,乘以 $1$ 然后将 $1$ 替换成条件的 $a+b$ .

解析: $\frac{1}{a} +\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a} +\frac{a}{b}=1+\frac{b}{a} +\frac{a}{b}\geq 1+2\sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}} =3$ ,当且仅当 $a=b=\frac{1}{2}$ 时成立,即最小值为 $3$

总结:这里采用的是将所求式子中的分子的1替换成条件式,变形成乘积为定值的式子,然后使用基本不等式求最值.综上所述,利用基本不等式求定值的关键就是凑定值.

例3.已知 $x>0,y>0,4x+2y=xy$ ,求 $2x+y$ 的最小值______.

思考:这题条件并不是倒数和为定值的形式,怎么使用常数代换的方法?

分析:条件 $4x+2y=xy$ ,如果两边同时除以 $xy$ ,就可以变成倒数和为定值的形式了

解析:由 $4x+2y=xy$ ,两边同时除以 $xy$ 得: $\frac{4}{y} +\frac{2}{x} =1$ ,则 $2x+y=(2x+y)\cdot (\frac{2}{x} +\frac{4}{y} )=4+\frac{2y}{x} +\frac{8x}{y} +4$ $又\frac{2y}{x} +\frac{8x}{y} \geq 2\sqrt{\frac{2y}{x} \cdot \frac{8x}{y} } =8$ ,当且仅当 $\frac{2y}{x} =\frac{4x}{y}$ 时等号成立,所以 $2x+y=4+\frac{2y}{x} +\frac{4x}{y} +4\geq 8+8=16$ ,即最小值为 $16$