对数函数：2018年理数全国卷A题21

对数函数：2018年理数全国卷A题21

已知函数 f(x) = \dfrac{1}{x} -x + a \ln x.

（I）讨论 f(x) 的单调性；

（Ⅱ）若 f(x) 存在两个极值点 x_1,x_2 ，证明∶\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} \lt a-2

【解答问题I】

函数 f(x) = \dfrac {1} {x} -x + a \ln x 的定义域为 (0,+\infty).

f'(x) = - \dfrac {1} {x^2} - 1 + \dfrac {a} {x}

= \dfrac {-x^2+ax-1} {x^2}

令 -x^2+ax-1=0, 则 \Delta=a^2-4

由韦达定理可得：

x_1x_2=1, \; x_1+x_2=a

(1) 若 -2 \leqslant a \lt 2, f'(x) \lt 0 , 函数 f(x) 在 (0,+\infty) 单调递减；

(2) 若 a=2, f'(1)=0 , 当 x \gt 0 且 x \neq 1 时，f'(x) \lt 0. 所以，函数 f(x) 在 (0,+\infty)单调递减；

(3) 若 a \lt -2, 当 x \in (0,+\infty), f'(x) \lt 0, 函数 f(x) 在 (0,+\infty) 单调递减；

(4) 若 a \gt 2,\;\Delta \gt 0, 导函数在 (0,+\infty) 有两个零点：

x_1 = \dfrac {1} {2} (a-\sqrt{a^2-4})

x_2 = \dfrac {1} {2} (a+\sqrt{a^2-4})

当 x \in (0,x_1), f'(x) \lt 0，函数 f(x) 单调递减；

当 x \in (x_1,x_2), f'(x) \gt 0，函数 f(x) 单调递增；

当 x \in (x_2,+\infty), f'(x) \lt 0，函数 f(x) 单调递减；

【解答问题Ⅱ】

根据前节的推导可知：存在两个极值点 x_1,x_2 的前提是：a \gt 2

x_1 x_2 =1 \; \Rightarrow x_1 = \dfrac {1} {x_2}

\Rightarrow \ln \dfrac {x_2} {x_1} = \ln(x_2)^2 = 2\ln x_2

不妨设 x_2 \gt x_1,

则 x_2 \gt 1 \gt x_1 \gt 0

x_2-x_1 \gt 0

f(x_2)-f(x_1) = -2(x_2-x_1) + 2a \cdot \ln x_2

\dfrac {f(x_2)-f(x_1)} {(x_2-x_1)} = -2 + 2a \cdot \dfrac {\ln x_2} {(x_2-x_1)}

记 g(x)=\dfrac{1}{x} -x + \ln x

由前节推导可知：g(x) 在 (0,+\infty) 上单调递减，而 g(1)=0,

∴ 当 x \gt 1, g(x) \lt 0

∴ \dfrac{1}{x_2} -x_2 + \ln x_2 \lt 0

∴ 0 \lt \ln x_2 \lt x_2 - x_1

∴ 0 \lt \dfrac {\ln x_2} {x_2 - x_1} \lt 1

∴ \dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} \lt a-2

证明完毕.

【提炼与提高】

现在的命题人很喜欢这种现学现用的风格.

类似风格的考题还有不少。参见：

对数函数：2011年理数大纲卷题22

©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
平台声明：文章内容（如有图片或视频亦包括在内）由作者上传并发布，文章内容仅代表作者本人观点，简书系信息发布平台，仅提供信息存储服务。

推荐阅读更多精彩内容