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矩阵

矩阵方程与求逆

(南昌大学,2022)已知矩阵 ${A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-1 \\ -1&1&1 \\ 1&-1&1\end{array}\right)}$ ,且 ${A^{*} X=A^{-1}+2 X}$ ,求 ${X}$ .

solution

首先注意到
${ \begin{aligned} |A|&=\left|\begin{array}{ccc} 1&1&-1 \\ -1&1&1 \\ 1&-1&1 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 1&1&-1 \\ 0&2&0 \\ 0&-2&2 \end{array}\right|\\ &=\left|\begin{array}{ccc} 1&1&-1 \\ 0&2&0 \\ 0&0&2 \end{array}\right|=4 \neq 0 . \end{aligned} }$
所以 ${A}$ 可逆,且 ${A^{*}=|A| A^{-1}=4 A^{-1}}$ ,那么结合已知就有 ${4 A^{-1} X=A^{-1}+2 X}$ ,两边左乘 ${A}$ 可得
${ (4 E-2 A) X=E . }$
于是 ${X=(4 E-2 A)^{-1}}$ .而对 ${(4 E-2 A,E)}$ 进行初等行变换,有
${ \begin{aligned} &(4 E-2 A,E) \\ &=\left(\begin{array}{cccccc} 2&-2&2&1&0&0 \\ 2&2&-2&0&1&0 \\ -2&2&2&0&0&1 \end{array}\right)\\ &\rightarrow\left(\begin{array}{cccccc} 2&-2&2&1&0&0 \\ 0&4&-4&-1&1&0 \\ 0&0&4&1&0&1 \end{array}\right) \\ &\rightarrow \left(\begin{array}{cccccc} 2&0&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0 \\ 0&4&0&0&1&1 \\ 0&0&4&1&0&1 \end{array}\right)\\ &\rightarrow\left(\begin{array}{cccccc} 1&0&0&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&0 \\ 0&1&0&0&\frac{1}{4}&\frac{1}{4} \\ 0&0&1&\frac{1}{4}&0&\frac{1}{4} \end{array}\right) \end{aligned} }$
这说明
${ X=(4 E-2 A)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{4}&\frac{1}{4}&0 \\ 0&\frac{1}{4}&\frac{1}{4} \\ \frac{1}{4}&0&\frac{1}{4} \end{array}\right) . }$

(福州大学,2022)设 ${A,B}$ 为 ${n}$ 阶实方阵,且 ${A+B=A B}$ ,证明: ${A B=B A}$ .

proof
由于 ${A+B=A B}$ ,所以
${ (A-E)(B-E)=A B-A-B+E=E . }$
这说明 ${A-E}$ 与 ${B-E}$ 互为逆,进而
${ (B-E)(A-E)=E . }$
化简可得 ${A+B=B A}$ ,所以 ${A B=B A}$ .

(太原理工大学,2022)设矩阵
${ A=\left(\begin{array}{ccc} 1&-2&0 \\ 2&-2&2 \\ 3&-4&2 \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} -1&4 \\ 0&6 \\ -1&10 \end{array}\right) . }$

在实数域上求方程 ${A X=B}$ 的通解;

判断矩阵 ${A+E}$ 是否可逆? 若可逆,求其逆矩阵.其中 ${E}$ 是 3 级单位矩阵.

solution

将增广矩阵 ${(A,B)}$ 进行初等行变换化为阶梯形,有
${ \begin{aligned} (A,B)&=\left(\begin{array}{ccccc} 1&-2&0&-1&4 \\ 2&-2&2&0&6 \\ 3&-4&2&-1&10 \end{array}\right) \\& \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc} 1&-2&0&-1&4 \\ 0&2&2&2&-2 \\ 0&2&2&2&-2 \end{array}\right) \\& \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc} 1&0&2&1&2 \\ 0&1&1&1&-1 \\ 0&0&0&0&0 \end{array}\right) . \end{aligned} }$
那么若 ${X=\left(x_{i j}\right)_{3 \times 2}}$ 满足 ${A X=B}$ ,根据上述阶梯形可得
$x_{11}=-2 x_{31}+1$
$x_{21}=-x_{31}+1$
$x_{12}=-2 x_{32}+2$
$x_{22}=-x_{32}-1 .$
即
${ X=\left(\begin{array}{cc} -2 x_{31}+1&-2 x_{32}+2 \\ -x_{31}+1&-x_{32}-1 \\ x_{31}&x_{32} \end{array}\right) }$
其中 ${x_{31},x_{32}}$ 为自由末知量.
由于
${ \begin{aligned} |A+E|&=\left|\begin{array}{ccc} 2&-2&0 \\ 2&-1&2 \\ 3&-4&3 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 2&0&0 \\ 2&1&2 \\ 3&-1&3 \end{array}\right|\\ &=2\left|\begin{array}{cc} 1&2 \\ -1&3 \end{array}\right|=10 \neq 0 . \end{aligned} }$
所以 ${A+E}$ 可逆,现在对 ${(A+E,E)}$ 进行初等行变换,有
${ \begin{aligned} &(A+E,E)\\ &=\left(\begin{array}{cccccc} 2&-2&0&1&0&0 \\ 2&-1&2&0&1&0 \\ 3&-4&3&0&0&1 \end{array}\right) \\& \rightarrow\left(\begin{array}{cccccc} 1&-1&0&\frac{1}{2}&0&0 \\ 0&1&2&-1&1&0 \\ 0&-1&3&-\frac{3}{2}&0&1 \end{array}\right) \\& \rightarrow\left(\begin{array}{cccccc} 1&-1&0&\frac{1}{2}&0&0 \\ 0&1&2&-1&1&0 \\ 0&0&5&-\frac{5}{2}&1&1 \end{array}\right) \\ &\rightarrow\left(\begin{array}{cccccc} 1&-1&0&\frac{1}{2}&0&0 \\ 0&1&0&0&\frac{3}{5}&-\frac{2}{5} \\ 0&0&1&-\frac{1}{2}&\frac{1}{5}&\frac{1}{5} \end{array}\right) \\& \rightarrow\left(\begin{array}{cccccc} 1&0&0&\frac{1}{2}&\frac{3}{5}&-\frac{2}{5} \\ 0&1&0&0&\frac{3}{5}&-\frac{2}{5} \\ 0&0&1&-\frac{1}{2}&\frac{1}{5}&\frac{1}{5} \end{array}\right) . \end{aligned} }$
由此可知
${ (A+E)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{2}&\frac{3}{5}&-\frac{2}{5} \\ 0&\frac{3}{5}&-\frac{2}{5} \\ -\frac{1}{2}&\frac{1}{5}&\frac{1}{5} \end{array}\right) . }$

(郑州大学,2022)设 ${A}$ 是 ${n}$ 阶整数方阵(即每一个元素都是整数),试叙述 ${A}$ 是可逆的且其逆也是整数方阵的充分必要条件,并给出证明.

proof

${A}$ 是可逆的且其逆也是整数方阵的充分必要条件为 ${|A|=\pm 1}$ .

必要性.由于 ${A}$ 与 ${A^{-1}}$ 均为整数方阵,所以 ${|A|}$ 与 ${\left|A^{-1}\right|}$ 均为整数,而 ${\left|A^{-1}\right|=\frac{1}{|A|}}$ ,所以 ${|A|}$ 整除 1 ,于是 ${|A|=\pm 1}$ .

充分性.若 ${|A|=\pm 1}$ ,则 ${A}$ 可逆,且 ${A^{-1}=\frac{A^{*}}{|A|}=\pm A^{*}}$ ,而 ${A}$ 为整数方阵,所以 ${A^{*}}$ 也为整数方阵,进而 ${A^{-1}=\pm A^{*}}$ 依旧为整数方阵.

note

基础回顾,对于矩阵方程 $AX=B:$

如果 $A$ 可逆,那么 $X=A^{-1}B$ .并且对 $(A,B)$ 进行一系列初等行变换等价于边乘可逆矩阵 $P$ ,即 $P(A,B)=(PA,PB)$ ,如果 $PA=E$ ,则 $P=A^{-1}$ ,所以 $PB=A^{-1}B$ .也就是说: 对 $(A,B)$ 进行一系列初等行变换,如果 $A$ 的位置变成了 $E$ ,则 $B$ 的位置就一定变成了 $A^{-1}B$ ,这就是求 $A^{-1}B$ 的简便算法.
如果 $A$ 不可逆,可以设 $X=(X_1,X_2,...,X_s),B=(b_1,b_2,...,b_s)$ ,那么 $AX=B$ 就等价于 $AX_i=b_i (i=1,2,...,s)$ ,这是所有系数矩阵都为 $A$ 的 $s$ 个非齐次线性方程组.同时可以发现,矩阵方程 $AX=B$ 有解等价于 $B$ 的列向量均可由 $A$ 的列向量组线性表出,也就是 $r(A)=r(A,B)$ .

分块矩阵求逆或伴随

(西南财经大学,2022)设矩阵 ${A=\left(\begin{array}{llll}1&2&0&0 \\ 2&5&0&0 \\ 0&0&0&1 \\ 0&0&1&1\end{array}\right)}$ ,且矩阵 ${B}$ 满足 ${A B+A A^{*}=A}$ ,求 ${B}$ .

solution

首先记 ${A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 5\end{array}\right),A_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)}$ ,显然 ${A_{1},A_{2}}$ 可逆,且
${ A_{1}^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{array}\right),A_{2}^{-1}=\left(\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) }$
另外,由于 ${A=\left(\begin{array}{cc}A_{1} & O \\ O & A_{2}\end{array}\right)}$ ,所以 ${|A|=\left|A_{1}\right|\left|A_{2}\right|=-1}$ ,即 ${A}$ 也可逆,那么对 ${A B+A A^{*}=A}$ 两边左乘 ${A^{-1}}$ 可得
$\begin{aligned} E-|A| A^{-1}&=E+\left(\begin{array}{cc} A_{1}^{-1} & O \\ O & A_{2}^{-1} \end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{cccc} 6 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \end{aligned}$

(云南大学,2022)设 ${A,B}$ 为 ${n}$ 阶方阵,满足 ${|A+B| \cdot|A-B| \neq 0}$ ,记 ${D=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B&A \end{array}\right)}$ ,求 ${D^{-1}}$ .

solution

首先注意到
${ \left(\begin{array}{cc} E&O \\ -E&E \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A&B \\ B&A \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} E&O \\ E&E \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} A+B&B \\ O&A-B \end{array}\right) . }$
同时
${ \left(\begin{array}{cc} A+B&B \\ O&A-B \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} E&-(A+B)^{-1} B \\ O&E \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} A+B&O \\ O&A-B \end{array}\right) }$
将上述两式合起来,便有
${ \left(\begin{array}{cc} E&O \\ -E&E \end{array}\right) D\left(\begin{array}{cc} E&O \\ E&E \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} E&-(A+B)^{-1} B \\ O&E \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} A+B&O \\ O&A-B \end{array}\right) }$
上式两端取逆可得
$\begin{aligned} D^{-1}&=\left(\begin{array}{cc}E&O \\ E&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}E&-(A+B)^{-1} B \\ O&E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A+B&O \\ O&A-B\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc}E&O \\ -E&E\end{array}\right)\\ &=\left(\begin{array}{cc}(A+B)^{-1}+(A+B)^{-1} B(A-B)^{-1}&-(A+B)^{-1} B(A-B)^{-1} \\ (A+B)^{-1}-(A-B)^{-1}+(A+B)^{-1} B(A-B)^{-1}&(A-B)^{-1}-(A+B)^{-1} B(A-B)^{-1}\end{array}\right) . \end{aligned}$

(北京师范大学,2022)解答如下问题:

设 ${A,B}$ 均是可逆矩阵,求分块矩阵 ${\left(\begin{array}{cc}A & C \\ O & B\end{array}\right)}$ 的逆矩阵;

设 ${A,B}$ 均是方阵,求分块对角矩阵 ${C=\left(\begin{array}{cc}A & O \\ O & B\end{array}\right)}$ 的伴随矩阵 ${C^{*}}$ .

solution

由于
${ \left(\begin{array}{ll} A&C \\ O&B \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} E&-A^{-1} C \\ O&E \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} A&O \\ O&B \end{array}\right) }$
上式两端取逆可得
${ \left(\begin{array}{ll} A&C \\ O&B \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} E&-A^{-1} C \\ O&E \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A^{-1}&O \\ O&B^{-1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} A^{-1}&-A^{-1} CB^{-1} \\ O&B^{-1} \end{array}\right) }$
当 ${A,B}$ 均可逆时,由 ${|C|=|A||B|}$ 可知 ${C}$ 可逆,且
${ C^{-1}=\left(\begin{array}{cc} A^{-1}&O \\ O&B^{-1} \end{array}\right) }$
于是
${ C^{*}=|C| C^{-1}=\left(\begin{array}{cc} |A||B| A^{-1}&O \\ O&|A||B| B^{-1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} |B| A^{*}&O \\ O&|A| B^{*} \end{array}\right) . }$
当 ${A}$ 或 ${B}$ 不可逆时,显然存在实数 ${M > 0}$ ,使得 ${t > M}$ 时, ${t E+A,t E+B}$ 均可逆,记
${ C_{t}=\left(\begin{array}{cc} t E+A&O \\ O&t E+B \end{array}\right) }$
根据上述结论,当 ${t > M}$ 时,有
${ C_{t}^{*}=\left(\begin{array}{cc} |t E+B|(t E+A)^{*}&O \\ O&|t E+A|(t E+B)^{*} \end{array}\right) }$
由于上式两端矩阵的所有元素均为 ${t}$ 的多项式,在 ${t > M}$ 时,相同位置元素相等,那么根据多项式的性质,对任意的 ${t \in \mathbb{R}}$ ,相同位置元素相等,即上式对任意的 ${t \in \mathbb{R}}$ 成立,特别地,取 ${t=0}$ ,就有
${ C^{*}=\left(\begin{array}{cc} |B| A^{*}&O \\ O&|A| B^{*} \end{array}\right) }$

note

对于二阶矩阵 $A=\{a,b;c,d\}$ ,其伴随矩阵为
$A^*=\{d,-b,-c,a\}\text{(即主对调,副变号)}$
那么当 A 可逆时,有
$A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}=\frac{1}{(ad-bc)}\{d,-b,-c,a\}.\text{(即单位主对调,负变号).}$
如果可逆矩阵 $A,B,C,D$ 满足 $ABC=D,$ 那么 $B=A^{-1}DC^{-1},$ 进而 $B^{-1}=CD^{-1}A.$
对任意的方阵 $A$ ,存在实数 $M > 0$ ,使得 $t > M$ 时, $tE+A$ 为可逆矩阵,这可以通过特征值进行说明.而这种给 $A$ 加上 $tE$ 使得其可逆的方法称为摄动法,在处理伴随矩阵问题时经常使用此方法.

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