高等代数 | 向量组、方程组与线性空间 | 方程组求解 | 抽象方程组求解

向量组、方程组与线性空间

方程组求解

(浙江大学,2022; 武汉理工大学,2022; 南京师范大学,2022)问 ${b,c}$ 取何值时,线性方程组
${ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=b \\ x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=3 \\ 5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=c . \end{array}\right. }$
有解？有解时,求所有解的集合,以及它的一个极大线性无关组

solution
将方程组的增广矩阵进行初等行变换化为阶梯形,有
$\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 1 & -3 & b \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\ 5 & 4 & 3 & 3 & -1 & c \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & -2 & -6 & b-3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\ 0 & -1 & -2 & -2 & -6 & c-5 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & -1 & -1 & -5 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c-2 \end{array}\right)$
由此可知,当且仅当 ${b=0,c=2}$ 时,方程组有解.有解时,所有解的集合为
$W=\left\{\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\right) | x_{1}=x_{3}+x_{4}+5 x_{5}-2,x_{2}=-2 x_{3}-2 x_{4}-6 x_{5}+3,x_{3},x_{4},x_{5} \text{为自由末知量}\right\} .$
另外,通过上述阶梯形可知
${ \eta_{1}=(1,-2,1,0,0)^{\prime},\eta_{2}=(1,-2,0,1,0)^{\prime},\eta_{3}=(5,-6,0,0,1)^{\prime} }$
为方程组导出组的基础解系,另外 ${\eta_{0}=(-2,3,0,0,0)^{\prime}}$ 为方程组的一个特解,于是
${ \eta_{0}=(-2,3,0,0,0)^{\prime},\eta_{0}+\eta_{1}=(-1,1,1,0,0)^{\prime},\eta_{0}+\eta_{2}=(-1,1,0,1,0)^{\prime},\eta_{0}+\eta_{3}=(3,-3,0,0,1)^{\prime} }$
就是 ${W}$ 当中的四个向量,若 ${k_{0},k_{1},k_{2},k_{3}}$ 满足
${ k_{0} \eta_{0}+k_{1}\left(\eta_{0}+\eta_{1}\right)+k_{2}\left(\eta_{0}+\eta_{2}\right)+k_{3}\left(\eta_{0}+\eta_{3}\right)=\left(*,*,k_{1},k_{2},k_{3}\right)=0 . }$
则 ${k_{1}=k_{2}=k_{3}=0}$ ,于是 ${k_{0} \eta_{0}=0}$ ,即 ${k_{0}=0}$ ,由此可知 ${\eta_{0},\eta_{0}+\eta_{1},\eta_{0}+\eta_{2},\eta_{0}+\eta_{3}}$ 线性无关.同时对任意的 ${\alpha \in W}$ ,那么 ${\alpha-\eta_{0}}$ 为方程组导出组的解,即存在 ${l_{1},l_{2},l_{3}}$ ,使得
${ \alpha-\eta_{0}=l_{1} \eta_{1}+l_{2} \eta_{2}+l_{3} \eta_{3} . }$
所以
${ \alpha=\left(1-l_{1}-l_{2}-l_{3}\right) \eta_{0}+l_{1}\left(\eta_{0}+\eta_{1}\right)+l_{2}\left(\eta_{0}+\eta_{2}\right)+l_{3}\left(\eta_{0}+\eta_{3}\right) . }$
由此可知 ${\eta_{0},\eta_{0}+\eta_{1},\eta_{0}+\eta_{2},\eta_{0}+\eta_{3}}$ 为 ${W}$ 的极大线性无关组.

(华东师范大学,2022)考虑下面的数域 ${K}$ 上的线性方程组
${ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+2 a x_{3}=2 \\ x_{1}+3 b x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{1}+x_{2}-a x_{3}=1 \end{array}\right. }$
问 ${a,b}$ 取何值时,方程组无解,有唯一解,有无穷多解? 且在方程组有解时,求出所有的解.

solution
将方程组的增广矩阵进行初等行变换化为阶梯形,有
$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 a & 2 \\ 1 & 3 b & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -a & 1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 a & 2 \\ 0 & 3 b-1 & 1-2 a & 0 \\ 0 & 0 & -3 a & -1 \end{array}\right)$
所以

当 ${a \neq 0,b \neq \dfrac{1}{3}}$ 时,方程组存在唯一解,解为
${ \left\{\begin{array}{l} x_{1}=-x_{2}-2 a x_{3}+2=\dfrac{12 a b-6 a+1}{3 a(3 b-1)} \\ x_{2}=\dfrac{2 a-1}{3 b-1} x_{3}=\dfrac{2 a-1}{3 a(3 b-1)} ; \\ x_{3}=\dfrac{1}{3 a} . \end{array}\right. }$
当 ${a=0}$ 时,方程组无解.
当 ${b=\dfrac{1}{3}}$ 时,对上述阶梯形继续进行初等行变换,有
$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 a & 2 \\ 0 & 0 & 1-2 a & 0 \\ 0 & 0 & -3 a & -1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 a & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{2}{3} \\ 0 & 0 & -3 a & -1 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cclc} 1 & 1 & 2 a & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 2 a-1 \end{array}\right)$
所以当 ${a \neq \dfrac{1}{2}}$ 时,方程组无解.当 ${a=\dfrac{1}{2}}$ 时,方程组有无穷多解,且解为
${ \left\{\begin{array}{l} x_{1}=-x_{2}-x_{3}+2=-x_{2}+\dfrac{4}{3} ; \\ x_{3}=\dfrac{2}{3} \end{array}\right. }$
其中 ${x_{2}}$ 为自由末知量.

note

非齐次线性方程组的解集不构成线性空间,但是解集也存在极大线性无关组.
对于方程组求解问题,在得到答案之后,一定要通过取特殊值进行检验,以保证自己的结果正确无误.

抽象方程组求解

(合肥工业大学,2022)设有实数域 ${\mathbb{R}}$ 上的线性方程组
${ (I)\left\{\begin{array}{l} 7 x_{1}-6 x_{2}+3 x_{3}=b ; \\ 8 x_{1}-9 x_{2}+a x_{4}=7 . \end{array} \text{其中}a,b \in \mathbb{R} .\right. }$
又已知线性方程组 (II) 的通解为
${ (1,1,0,0)^{\prime}+k_{1}(1,0,-1,0)^{\prime}+k_{2}(2,3,0,1)^{\prime} . }$
其中 ${k_{1},k_{2}}$ 是任意实数,如果 (I) 和 (II) 有无穷多公共解,求 ${a,b}$ 的值及所有公共解.

solution
将方程组 (II) 的通解 ${\left(1+k_{1}+2 k_{2},1+3 k_{2},-k_{1},k_{2}\right)^{\prime}}$ 代入到方程组 (I) 可得
${ \left\{\begin{array}{l} 7\left(1+k_{1}+2 k_{2}\right)-6\left(1+3 k_{2}\right)-3 k_{1}=b \\ 8\left(1+k_{1}+2 k_{2}\right)-9\left(1+3 k_{2}\right)+a k_{2}=7 \end{array}\right. }$
化简可得
${ \left\{\begin{array}{l} 4 k_{1}-4 k_{2}=b-1 \\ 8 k_{1}+(a-11) k_{2}=8 \end{array}\right. }$
将上式看成关于 ${k_{1},k_{2}}$ 的线性方程组,对其增广矩阵进行初等行变换,有
${ \left(\begin{array}{ccc} 4 & -4 & b-1 \\ 8 & a-11 & 8 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 4 &-4 & b-1 \\ 0 & a-3 & -2 b+10 \end{array}\right) . }$
由于方程组 (I) 与 (II) 有无穷多公共解,所以上述关于 ${k_{1},k_{2}}$ 的线性方程组存在无穷多解,那么根据上述阶梯形可知 ${a-3=0,-2 b+10=0}$ ,即 ${a=3,b=5}$ .并且根据上述阶梯形可得方程组的通解为
${ k_{1}=k_{2}+1 . }$
所以方程组 (I) 与 (II) 的所有公共解为
${ (1,1,0,0)^{\prime}+\left(k_{2}+1\right)(1,0,-1,0)^{\prime}+k_{2}(2,3,0,1)^{\prime}=(2,1,-1,0)^{\prime}+k_{2}(3,3,-1,1)^{\prime} . }$
其中 ${k_{2}}$ 为自由末知量.

(云南大学,2022)设 4 元实系数齐次线性方程组 (I) 是
${ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{3}=0 \\ x_{2}-x_{4}=0 \end{array}\right. }$
又已知 4 元实系数齐次线性方程组 (II) 的通解是 ${k_{1}(0,1,1,0)^{T}+k_{2}(-1,2,2,1)^{T}}$ ,其中 ${k_{1},k_{2}}$ 是任意实数.问线性方程组 (I),(II) 是否有公共解? 如果有,求出所有的非零公共解; 如果没有,请说明理由.

solution
将方程组 (II) 的通解 ${\left(-k_{2},k_{1}+2 k_{2},k_{1}+2 k_{2},k_{2}\right)^{T}}$ 代入到方程组 (I),可得
${ \left\{\begin{array}{l} -k_{2}+\left(k_{1}+2 k_{2}\right)=k_{1}+k_{2}=0 \\ \left(k_{1}+2 k_{2}\right)-k_{2}=k_{1}+k_{2}=0 \end{array}\right. }$
显然上述方程组存在无穷多解,且通解为 ${k_{2}=-k_{1}}$ ,所以方程组 (I),(II) 有公共解,且公共解为
${ k_{1}(0,1,1,0)^{T}-k_{1}(-1,2,2,1)^{T}=k_{1}(1,-1,-1,-1)^{T} . }$
其中 ${k_{1}}$ 为任意常数.

(中国人民大学,2022)设
${ \alpha_{1}=(1,2,-1,0,4)^{\prime},\alpha_{2}=(-1,3,2,4,1)^{\prime},\alpha_{3}=(2,9,-1,4,13)^{\prime} . }$
且 ${W=L\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\right)}$ 是由 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}}$ 生成的 ${\mathbb{R}^{4}}$ 的子空间.

求以 ${W}$ 为解空间的齐次线性方程组;

求以 ${W^{\prime}=\{\eta+\alpha | \alpha \in W\}}$ 为解集的非齐次线性方程组,其中 ${\eta=(1,2,1,2,1)^{\prime}}$ .

solution

首先记 ${A=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\right)}$ ,则
${ A^{\prime}=\left(\begin{array}{c} \alpha_{1}^{\prime} \\ \alpha_{2}^{\prime} \\ \alpha_{3}^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 &-1& 0 & 4 \\ -1 & 3 &2& 4 &1 \\ 2 & 9 & -1 & 4 &13 \end{array}\right) }$
对 ${A^{\prime}}$ 进行初等行变换化为阶梯形有
${ A^{\prime} \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc} 1 &2 & -1 &0 & 4 \\ 0 &5 &1 &4 &5 \\ 0 & 4 &1 &4 & 5 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc} 1 &2 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 5 &1 &4& 5 \\ 0 & 0& 0 & 0 &0 \end{array}\right) }$
所以 ${r\left(A^{\prime}\right)=2}$ ,再结合 ${\alpha_{1},\alpha_{2}}$ 线性无关可知 ${\alpha_{1},\alpha_{2}}$ 是 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}}$ 的极大线性无关组,从而 ${W=L\left(\alpha_{1},\alpha_{2}\right)}$ .同时根据阶梯形可得方程组 ${A^{\prime} X=0}$ 的基础解系为
${ \eta_{1}=(7,-1,5,0,0)^{\prime},\eta_{2}=(8,-4,0,5,0)^{\prime},\eta_{3}=(-2,-1,0,0,1)^{\prime} . }$
此时显然有 ${A^{\prime} \eta_{i}=0(i=1,2,3)}$ ,记 ${B=\left(\eta_{1},\eta_{2},\eta_{3}\right)}$ ,即 ${A^{\prime} B=O}$ ,于是取转置可知 ${B^{\prime} A=O}$ ,这说明 ${A}$ 的列向量(即 ${\left.\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\right)}$ 都是方程组 ${B^{\prime} X=0}$ 的解,而显然 ${r\left(B^{\prime}\right)=3}$ ,从而 ${B^{\prime} X=0}$ 的基础解系中含有 ${5-r\left(B^{\prime}\right)=2}$ 个向量,且 ${\alpha_{1},\alpha_{2}}$ 已经是 ${B^{\prime} X=0}$ 的两个线性无关的解向量,从而 ${\alpha_{1},\alpha_{2}}$ 就是 ${B^{\prime} X=0}$ 的基础解系,这说明 ${W}$ 就是 ${B^{\prime} X=0}$ 的解空间.故 ${B^{\prime} X=0}$ 即
${ \left\{\begin{array}{l} 7 x_{1}-x_{2}+5 x_{3}=0 \\ 8 x_{1}-4 x_{2}+5 x_{4}=0 \\ -2 x_{1}-x_{2}+x_{5}=0 \end{array}\right. }$
是满足条件的一个方程组.
当 ${x_{1}=1,x_{2}=2,x_{3}=1,x_{4}=2,x_{5}=1}$ 时,有
${ 7 x_{1}-x_{2}+5 x_{3}=10,8 x_{1}-4 x_{2}+5 x_{4}=10,-2 x_{1}-x_{2}+x_{5}=-3 . }$
从而 ${\eta=(1,2,1,2,1)^{\prime}}$ 就是方程组
${ \left\{\begin{array}{l} 7 x_{1}-x_{2}+5 x_{3}=10 \\ 8 x_{1}-4 x_{2}+5 x_{4}=10 \\ -2 x_{1}-x_{2}+x_{5}=-3 \end{array}\right. }$
的一个特解,而由第一问可知此方程组导出组的解空间为 ${W}$ ,从而根据非齐次线性方程组解的性质可知 ${W^{\prime}=\{\eta+\alpha | \alpha \in W\}}$ 就是上述方程组的解集.

note

命题:已知 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}}$ 是线性无关的 ${n}$ 维向量组,证明：必然存在以 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}}$ 为一组基础解系的齐次线性方程组.

解答: 记 ${A=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\right)}$ 为 ${n \times s}$ 矩阵,则 ${A^{\prime}}$ 为 ${s \times n}$ 矩阵,且 ${r\left(A^{\prime}\right)=s}$ ,所以方程组 ${A^{\prime} X=0}$ 的基础解系中含有 ${n-s}$ 个向量,设 ${\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{n-s}}$ 为其中的一个基础解系,记 ${B=\left(\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{n-s}\right)}$ ,则 ${r(B)=n-s}$ ,且 ${A^{\prime} B=O}$ ,于是 ${B^{\prime} A=O}$ ,这说明 ${A}$ 的列向量 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}}$ 是方程组 ${B^{\prime} X=0}$ 的 ${s}$ 个线性无关的解,而根据 ${r\left(B^{\prime}\right)=n-s}$ 可知方程组 ${B^{\prime} X=0}$ 的基础解系正好含有 ${n-(n-s)=s}$ 个向量,所以 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}}$ 是方程组 ${B^{\prime} X=0}$ 的一个基础解系.

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