高等代数 | 向量组、方程组与线性空间 | 覆盖定理 | 向量组的线性相关与无关

向量组、方程组与线性空间

覆盖定理

(华中科技大学,2021)设 ${V}$ 为数域 ${F}$ 上的 ${n}$ 维线性空间, ${W_{1},W_{2},\cdots,W_{n}}$ 为 ${V}$ 的 ${n}$ 个真子空间,证明: 存在 ${V}$ 的一组基 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}}$ ,使得对任意的 ${i,j \in\{1,2,\cdots,n\}}$ ,有 ${\alpha_{i} \notin W_{j}}$ .

proof
首先设 ${\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}}$ 为 ${V}$ 的一组基,记
$\beta_{i}=\varepsilon_{1}+k \varepsilon_{2}+k^{2} \varepsilon_{3}+\cdots+k^{n-1} \varepsilon_{n},k=1,2,3,\cdots \quad (1)$
任取上述向量组中的 ${n}$ 个向量 ${\beta_{k_{1}},\beta_{k_{2}},\cdots,\beta_{k_{n}}}$ ,其中 ${k_{1} < k_{2} < \cdots < k_{n}}$ ,有
${ \left(\beta_{k_{1}},\beta_{k_{2}},\cdots,\beta_{k_{n}}\right)=\left(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}\right) C }$
其中
$C=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ k_{1}^{n-1} & k_{2}^{n-1} & \cdots & k_{n}^{n-1} \end{array}\right)$
显然 ${|C|}$ 是一个范德蒙行列式,进而
${ |C|=\prod_{i>j}\left(k_{i}-k_{j}\right) \neq 0 . }$
由此可知 ${\beta_{k_{1}},\beta_{k_{2}},\cdots,\beta_{k_{n}}}$ 线性无关,即向量组(1)中的任意 ${n}$ 个向量均构成 ${V}$ 的一组基.由于 ${W_{1},W_{2},\cdots,W_{n}}$ 均为 ${V}$ 的真子空间,所以每个子空间 ${W_{i}}$ 最多包含向量组(1)中的 ${n-1}$ 个向量,进而 ${W_{1} \cup W_{2} \cup \cdots \cup W_{s}}$ 只包含向量组(1)中的有限个向量,于是向量组(1)中存在 ${n}$ 个向量,记为 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}}$ ,它们构成 ${V}$ 的一组基,使得对任意的 ${i,j \in\{1,2,\cdots,n\}}$ ,有 ${\alpha_{i} \notin W_{j}}$ .

note
(武汉大学,2020)已知 ${V}$ 为 ${n}$ 维向量空间, ${\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}}$ 为一组基,证明: 对 ${\forall m>n}$ ,必存在 ${m}$ 个向量组成的向量组,其中任意 ${n}$ 个向量线性无关.

(天津大学,2021; 湘潭大学,2021)设 ${V_{1},V_{2},\cdots,V_{s}}$ 是实数域上线性空间 ${V}$ 的 ${s}$ 个真子空间,证明: ${V}$ 中至少有一个向量 ${v}$ 不属于 ${V_{1},V_{2},\cdots,V_{s}}$ 中的任何一个.

proof
数学归纳法.当 ${s=1}$ 时,结论显然成立.现在假设命题对 ${V}$ 的 ${s-1}$ 个真子空间成立,那么对于 ${s}$ 个空间 ${V_{1},V_{2},\cdots,V_{s}}$ ,利用假设知存在向量 ${\alpha \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s-1}}$ ,如果 ${\alpha \notin V_{s}}$ ,则结论已经成立.若 ${\alpha \in V_{s}}$ ,由 ${V_{s}}$ 为真子空间知存在 ${\beta \notin V_{s}}$ ,现在考虑向量组
$\alpha+\beta,2 \alpha+\beta,\cdots,s \alpha+\beta .\quad (2)$
显然这些向量都不属于 ${V_{s}}$ ,原因是若 ${k \alpha+\beta \in V_{s}}$ ,结合 ${\alpha \in V_{s}}$ 就可以得到 ${\beta \in V_{s}}$ ,矛盾.同时这 ${s}$ 个向量中,不可能存在两个向量同属于一个 ${V_{i}(i=1,2,\cdots,s-1)}$ ,原因是若 ${k \alpha+\beta}$ 与 ${l \alpha+\beta(k \neq l)}$ 都属于 ${V_{i}}$ ,则两个向量的差 ${(k-l) \alpha \in V_{i}}$ ,即 ${\alpha \in V_{i}}$ ,这与假设是矛盾的.所以向量组(2)至少有一个向量(记为 $v=j \alpha+\beta$ )不属于 ${V_{1},V_{2},\cdots,V_{s}}$ 中的任何一个.

向量组的线性相关与无关

(大连理工大学,2022)已知向量组 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}}$ 线性无关,且可由向量组 ${\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}}$ 线性表出,证明：存在某个向量 ${\beta_{j}(1 \leqslant j \leqslant s)}$ ,使得向量组 ${\beta_{j},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}}$ 线性无关.

proof
反证法.若对任意的 ${\beta_{i}(1 \leqslant i \leqslant s)}$ ,向量组 ${\beta_{i},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}}$ 线性相关,即存在不全为零的 ${k_{1},k_{2},\cdots,k_{r}}$ ,使得
$k_{1} \beta_{i}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{r} \alpha_{r}=0 .$
若 ${k_{1}=0}$ ,则
$k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{r} \alpha_{r}=0 .$
由 ${\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}}$ 线性无关可知 ${k_{2}=\cdots=k_{r}=0}$ ,矛盾.所以 ${k_{1} \neq 0}$ ,从而
$\beta_{i}=-\frac{1}{k_{1}}\left(k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{r} \alpha_{r}\right) .$
这说明 ${\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}}$ 均可由 ${\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}}$ 线性表出,而 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}}$ 可由 ${\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}}$ 线性表出,故 ${\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}}$ 可由 ${\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}}$ 线性表出,那么 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}}$ 线性相关,这与已知矛盾.所以存在某个向量 ${\beta_{j}(1 \leqslant j \leqslant s)}$ ,使得向量组 ${\beta_{j},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}}$ 线性无关.

(东北师范大学,2022)设 ${\sigma}$ 是向量空间 ${V}$ 的一个线性变换, ${v_{1}}$ 是 ${\sigma}$ 的属于特征值 ${\lambda}$ 的特征向量,向量组 ${v_{1},v_{2},\cdots,v_{n}}$ 满足 ${(\sigma-\lambda E)\left(v_{i+1}\right)=v_{i}(i=1,2,\cdots,n-1)}$ 其中 ${E}$ 是恒同变换,证明: ${v_{1},v_{2},\cdots,v_{n}}$ 线性无关.

proof
首先注意到 ${(\sigma-\lambda E) v_{1}=0,(\sigma-\lambda E)\left(v_{i+1}\right)=v_{i}}$ , ${(i=1,2,\cdots,n-1)}$ .若 ${k_{1},k_{2},\cdots,k_{n}}$ 满足
${ k_{1} v_{1}+k_{2} v_{2}+\cdots+k_{n} v_{n}=0 . }$
则反复作用 ${\sigma-\lambda E}$ 可得
${ \left\{\begin{array}{l} k_{1} v_{1}+k_{2} v_{2}+\cdots+k_{n} v_{n}=0 \\ k_{2} v_{1}+k_{3} v_{2}+\cdots+k_{n} v_{n-1} \\ \cdots \cdots \\ k_{n-1} v_{1}+k_{n} v_{2}=0 \\ k_{n} v_{1}=0 \end{array}\right. }$
由于 ${v_{1} \neq 0}$ ,所以结合最后一个方程可得 ${k_{n}=0}$ ,将其代入到倒数第二个方程可得 ${k_{n-1}=0}$ ,以此递推,可得
${ k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{n}=0 . }$
这说明 ${v_{1},v_{2},\cdots,v_{n}}$ 线性无关.

(西北大学,2022)向量 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}}$ 线性无关,试证: 当 ${n=2021}$ 和 ${n=2022}$ 时,向量组的线性相关与无关
$\alpha_{1}+\alpha_{2},\alpha_{2}+\alpha_{3},\cdots,\alpha_{n-1}+\alpha_{n},\alpha_{n}+\alpha_{1} \quad (1)$
分别是线性无关和线性相关的.

proof
首先,若 ${x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}}$ 满足
${ x_{1}\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)+x_{2}\left(\alpha_{2}+\alpha_{3}\right)+\cdots+x_{n-1}\left(\alpha_{n-1}+\alpha_{n}\right)+x_{n}\left(\alpha_{n}+\alpha_{1}\right)=0 . }$
这等价于
${ \left(x_{1}+x_{n}\right) \alpha_{1}+\left(x_{1}+x_{2}\right) \alpha_{2}+\cdots+\left(x_{n-1}+x_{n}\right) \alpha_{n}=0 . }$
根据 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}}$ 线性无关可知上式又等价于
${ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{n}=0 \\ x_{1}+x_{2}=0 \\ \cdots \\ x_{n-1}+x_{n}=0 . \end{array}\right. }$
此齐次线性方程组的系数矩阵为
$A=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & & & & & 1 \\ 1 & 1 & & & & \\ & 1 & 1 & & & \\ & & \ddots & \ddots & & \\ & & & 1 & 1 & \\ & & & & 1 & 1 \end{array}\right)_{n \times n}$
将 ${|A|}$ 按照第一行展开,可得
${ |A|=1+(-1)^{n+1} . }$
当 ${n=2021}$ 时, ${|A|=2 \neq 0}$ ,所以方程组只有零解,这说明向量组(1)线性无关; 当 ${n=2022}$ 时, ${|A|=0}$ ,此时方程组存在非零解,所以向量组(1)线性相关.

(中南大学,2022)设向量组 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}}$ 线性无关,非零向量 ${\beta}$ 满足 ${\beta,\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}}$ 线性相关,证明: 在向量组 ${\beta,\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}}$ 中存在唯一一个向量 ${\alpha_{j}(1 \leqslant j \leqslant m)}$ ,使得 ${\alpha_{j}}$ 可由其前面的向量 ${\beta,\alpha_{1},\cdots,\alpha_{j-1}}$ 线性表出.

proof
解答.由于 ${\beta}$ 可以被 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}}$ 线性表出,且 ${\beta \neq 0}$ ,所以存在不全为零的 ${k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}}$ ,使得
${ \beta=k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{m} \alpha_{m} . }$
现在从 ${k_{m},k_{m-1},\cdots,k_{1}}$ 依次检查,设第一个非零的为 ${k_{j}}$ ,即 ${\beta=k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{j} \alpha_{j}}$ ,则
$\alpha_{j}=\frac{1}{k_{j}}\left(\beta-k_{1} \alpha_{1}-k_{2} \alpha_{2}-\cdots-k_{j-1} \alpha_{j-1}\right) .\quad (2)$
这说明 ${\alpha_{j}}$ 可由 ${\beta,\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{j-1}}$ 线性表出.另外,若还存在 ${\alpha_{i}(i \neq j)}$ 使得 ${\alpha_{i}}$ 可以由 ${\beta,\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{i-1}}$ 线性表出,这里不妨设 ${i<j}$ ,且
$\alpha_{i}=l_{0} \beta+l_{1} \alpha_{1}+l_{2} \alpha_{2}+\cdots+l_{i-1} \alpha_{i-1} .\quad (3)$
根据 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}}$ 线性无关可知 ${l_{0} \neq 0}$ ,所以(3)式乘以 ${\dfrac{1}{k_{j}}}$ 与(2)式乘以 ${l_{0}}$ 相减,就有
${ \frac{1}{k_{j}} \alpha_{i}-l_{0} \alpha_{j}=\frac{1}{k_{j}}\left(l_{1} \alpha_{1}+l_{2} \alpha_{2}+\cdots+l_{i-1} \alpha_{i-1}\right)+\frac{l_{0}}{k_{j}}\left(k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{j-1} \alpha_{j-1}\right) . }$
上式下标最大的向量为 ${\alpha_{j}}$ ,其系数 ${-l_{0} \neq 0}$ ,这与 ${\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}}$ 线性无关矛盾.所以满足条件的向量 ${\alpha_{j}}$ 存在且唯一.

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