2.3 素理想和极大理想

1. 设 是一个代数封闭域(即 中每一个不可约多项式都是一次多项式), 求 的全部素理想。
   【解答】 中的每个理想都是主理想，其中非的主理想可以有首1的多项式生成，并且我们知道如果是次数大于一的多项式，我们有结论：

是素理想 是不可约多项式，因此的全部素理想包括:和其中

2. 设 是有单位元 的交换环, 是 的一个子环, 并且 与 有相同的单位元。设 是 的一个素理想, 证明： 是 的一个素理想。
   【解答】①首先很好验证是的一个理想。
   ②接下来任取,如果，于是一定有或者，也就是说必有或者.这说明是的一个素理想。

3. 求 的全部素理想。
   【解答】我们知道的每个理想都是由一个非负整数生成的主理想。所以所有的理想可以写成且满足也就是说整除。
   并且是的素理想当且仅当是整环。所以必须是素数，
   所以的全部素理想就是

4. 设 ，其中 是两两不等的素数，。求 的全部素理想。
   【解答】和第三题同样的思路我们可以得到他的所有素理想形如：

5. 设 是有单位元 的交换环, 证明： 的所有素理想的交等于 的幂零根 。
   【解答】证明双包含关系。
   ①先假设其中为的一个素理想，假设是使得的最小的整数，于是
   ，由此推出了或者矛盾，因此，所以属于所有的素理想。
   ②假设不是幂零元，

6. 设 ，其中 是两两不等的素数， 证明： 的幂零根等于 。

7. 求 的所有幂零元。
   【解答】根据第六题的结论
   所以的幂零根只有和

8. 设 是有单位元 的环, 令 。
   (1) 证明： 是 的一个子环, 且有环同构 ，其中 是某一个非负整数, 我们把 叫做环 的特征。
   【证明】先用减法和乘法封闭来说明是一个子环，
   随后构造同构映射.
   这是一个满同态，根据同态基本定理,其中是由某一个非负整数生成的主理想。
   (2) 证明：如果 是整环, 那么 的特征为 或者为一个素数。

【证明】如果是整环，那么也是整环，也就是是整环，从而是素理想，也就是说是素数。

9. 设 是有单位元 的交换环, 证明： 是 的极大理想当且仅当 是一个域。
   【解答】显然这说明中包含的理想只有和，这说明他是一个域。

10. 设 是有单位元 的交换环, 证明： 的极大理想一定是素理想。
    【解答】 假设是的一个极大理想，并且就有是域。所以他是一个整环，从而是的素理想。

11. 设 是有单位元 的交换环, 举例说明： 的素理想不一定是极大理想。
    【解答】考虑整系数一元多项式环中，考虑的生成理想它是一个素理想，但不是极大理想。

12. 设 是偶数环 ，证明： 是 的一个极大理想, 但是 不是域。

【解答】①对减法乘法封闭，且具有左右吸收性，它是的一个理想。
②现在假设为包含但不等于的一个理想，它里面必有元素,于是。进一步推出这说明是的极大理想。

③ 所以为非零的零因子，从而不是域。