求解冲激函数的实例

0 基本知识笔记

冲激响应 impluse response

对于线性时不变系统，单位冲激函数 $\delta(t)$ 作用下的零状态响应称为冲激响应 $h(t)$ ，与阶跃响应的关系为 $h(t)=\frac{ds(t)}{dt}$ 。该系统对任意激励 $e(t)$ 的响应为 $u(t)=h(t) \ast e(t) + r_{zi}(t)$ ， $r_{zi}(t)$ 为零输入相应。

离散形式为 $y[n]=h[n] \ast e[n] + r_{zi}[n]$ 。

1 部分分式法求解冲激响应

若系统的输入-输出( $e(t)\rightarrow r(t)$ )方程有以下微分方程形式，

$\sum^n_{k=0}a_k \frac{d^kr}{dt^k} = \sum^m_{k=0}b_k \frac{d^ke}{dt^k} ,\quad let\; a_n = 1$

微分算子用 $p$ 表示，即 $p^n \triangleq \frac{d^n}{dt^n}$ ，则可得到一转移算子 $H(p)$ ，

$H(p)=\frac{\sum^m_{k=0}b_k p^k}{\sum^n_{k=0}a_k p^k}$

微分方程化为 $r(t)=H(p)e(t)$ ，则冲激响应为 $h(t)=H(p)\delta(t)$ 。若 $m \le n$ ，则对 $H(p)$ 作分式展开后得到如下形式，

$H(p)=A_0 + \sum^{N}_{k=1}\frac{A_k}{(p-\lambda_k)^{\sigma_k}}$

而由Laplace变换可知对于不同的 $\sigma$ 有如下解

$\sigma$	$H(p)$	Solution
$0$	$1$	$h(t)=\delta(t)$
$1$	$\frac{1}{p-\lambda}$	$h(t)=e^{-\lambda t}u(t)$
$n \ge 2$	$\frac{1}{(p-\lambda)^n}$	$h(t)=\frac{t^n}{(n-1)!} e^{-\lambda t} u(t)$

所以可求得冲激响应

$h(t) = A_0 \delta(t) + \sum^N_{k=1} A_k t^{\sigma_k} e^{-\lambda_k t} u(t)$

下举两例

1. $\frac{d^2 r(t)}{d t^2} + 4\frac{dr(t)}{dt} + 3r(t) = \frac{de(t)}{dt} + 2e(t)$

$\begin{aligned}\therefore h(t) &= \delta(t) \frac{p+2}{p^2+4p+3} \\ &= \delta(t) \left( \frac{1 /2}{p+1} + \frac{1 /2}{p+3} \right) \\ &= \frac{e^{-t} + e^{-3t}}{2} u(t)\end{aligned}$

2. $\frac{d^2 r(t)}{d t^2} + 4\frac{dr(t)}{dt} + 4r(t) = 2 \frac{d^2 e(t)}{d t^2} + 9 \frac{de(t)}{dt} + 11e(t)$

$\begin{aligned}\therefore h(t) &= \delta(t) \frac{2p^2 + 9p + 11}{p^2 + 4p + 4} \\ &= \delta(t) \left\lbrack 2 + \frac{1}{p+2} + \frac{1}{(p+2)^2} \right\rbrack \\ &= 2\delta(t) + (1 + t) e^{-2t} u(t) \end{aligned}$

2 线性时不变性质求解冲激响应

由上面的讨论可知，冲激响应的求解归结为求 $h(t) \sum^n_{k=0}a_k p^k = \delta(t) \sum^m_{k=0}b_k p^k$ 。而根据线性时不变系统的相关性质，可以先求解易解的 $h_0(t) \sum^n_{k=0}a_k p^k = \delta(t)$ ，在作叠加即可求得冲激响应 $h(t)$ 。

仍以 $\frac{d^2 r(t)}{d t^2} + 4\frac{dr(t)}{dt} + 3r(t) = \frac{de(t)}{dt} + 2e(t)$ 为例。

$(p^2+4p+3) h_0(t) = \delta(t) \Rightarrow h_0(t) = \frac{e^{-t} - e^{-3t}}{2} u(t)$

所以可得冲激响应，

$h(t) = \frac{dh_0(t)}{dt} + 2h_0(t) = \frac{e^{-t} + e^{-3t}}{2} u(t)$

3 一个离散信号的例子

考虑描述一因果线性时不变系统的差分方程，
$y[n] + \frac{5}{6}y[n-1] + \frac{1}{6}y[n-2] = x[n] + 3x[n-1] + \frac{11}{6}x[n-2] + \frac{1}{3}x[n-3]$

用 $p$ 表示 $e^{-j\omega}$ ，则该系统的频率响应为，

$\begin{aligned} H(p) &= \frac{1 + 3p + \frac{11}{6}p^2 + \frac{1}{3}p^3}{ 1 + \frac{5}{6} p + \frac{1}{6} p^2} \\ &= 1 + 2p + \frac{1}{1+p / 3} + \frac{-1}{1+p /2} \end{aligned}$

于是也可以对应得出冲激响应为，

$h[n] = \delta[n] + 2\delta[n-1] + \left\lbrack \frac{1}{(-3)^n} - \frac{1}{(-2)^n} \right\rbrack u[n]$

可以看出，即使 $H(p)$ 是真分式也可以用类似的部分分式法求解冲激响应。

最后编辑于：2020.03.29 11:31:02

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