奇点类型
本篇仅讨论平面自治系统的奇点类型，对于线性化系统求解其特征值。特征值的实部和虚部决定了奇点的类型：
- 实特征值
如果所有特征值均为负实数，则该奇点是稳定结点；
如果所有特征值均为正实数，则是不稳定结点；
如果有正有负，则是鞍点。 - 复特征值：如果特征值是复数，则需要看其实部。
如果实部为负，奇点是稳定的螺旋点；
如果实部为正，则是不稳定的螺旋点。
例题：线性系统
系统 一：
第一步：确定雅可比矩阵
这个系统的右侧为：
对 求关于
和
的偏导数，得到雅可比矩阵
：
第二步：求特征值
我们接下来计算雅可比矩阵 的特征值。特征值
满足以下特征方程：
将 和单位矩阵
带入：
计算行列式：
展开并简化：
这得到一个二次方程：
解这个二次方程，使用求根公式：
所以得到两个特征值：
第三步：判断奇点类型
- 两个特征值
和
都是负实数。
- 这意味着奇点是一个 稳定节点，因为所有特征值都为负，轨线将向奇点收敛。
因此，系统 (1) 的奇点是一个 稳定节点，轨线在奇点附近向奇点收敛。
系统二
第一步：确定雅可比矩阵
这个系统的右侧为：
对 求关于
和
的偏导数，得到雅可比矩阵
：
第二步：求特征值
特征值 满足以下特征方程：
计算行列式：
展开行列式：
简化得到：
使用求根公式解此二次方程：
因此，特征值为：
第三步：判断奇点类型
- 由于特征值的符号不同（一个为正，一个为负），奇点是 鞍点。
- 鞍点表示系统的奇点在某些方向上不稳定。
系统三：
第一步：确定雅可比矩阵
第二步：求特征值
特征值 满足以下特征方程：
计算行列式：
展开行列式：
整理得到：
解得特征值为复数，说明系统具有螺旋奇点。
系统四
第一步：确定雅可比矩阵
系统的右侧为：
对 求关于
和
的偏导数，得到雅可比矩阵
：
第二步：求特征值
特征值 满足以下特征方程：
计算行列式：
展开行列式：
整理得到：
将方程分解为：
因此，特征值为：
第三步：判断奇点类型
- 特征值中包含
和一个负特征值
，因此系统的奇点是一个 鞍结点（即鞍点和中心点的混合类型）。
- 鞍结点表示系统的奇点在某些方向上可能稳定，而在其他方向上不稳定。
最后，我们用Python来绘制了上面四个系统的轨线分布图：
image.png
例题：非线性系统
对于非线性系统，我们一般采取线性近似法来近似其在奇点附近的状态。
